2025年课标高考文数每日习题真题分类8.4　直线、平面垂直的判定和性质 (2)(带答案解析).docx

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8.4直线、平面垂直的判定和性质

一、选择题

1.(2024昆明一模,10)如图,O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心O关于平面A1B1C1D1的对称点,则下列说法中错误的是()

A.O1C1∥平面A1BCD1

B.平面O1A1D1⊥平面O1B1C1

C.O1C1⊥平面AB1D1

D.O,O1,A1,B1,C1,D1六点在同一球面上

答案D记正方形A1B1C1D1的中心为O3,显然O,O3,O1共线,如图所示.设边A1D1,B1C1的中点分别为F,E,

连接A1C,则点O在A1C上,且O是A1C的中点,因为O1是点O关于平面A1B1C1D1的对称点,所以OO1∥CC1,且OO1=CC1,所以四边形OO1C1C是平行四边形,所以O1C1∥OC,因为O1C1?平面A1BCD1,OC?平面A1BCD1,所以O1C1∥平面A1BCD1,所以A正确;连接EO1,FO1,易得EO1⊥FO1,EO1⊥A1D1,又O1F∩A1D1=F,所以EO1⊥平面O1A1D1,又EO1?平面O1B1C1,所以平面O1A1D1⊥平面O1B1C1,所以B正确;因为AB1⊥A1O,所以AB1⊥O1C1,同理AD1⊥O1C1,又AB1∩AD1=A,所以O1C1⊥平面AB1D1,所以C正确;连接O3A1,因为OO3≠O3A1,所以D错误,故选D.

2.(2024届湖北部分重点中学开学联考,3)已知a,b是两条不重合的直线,α为一个平面,且a⊥α,则“b⊥α”是“a∥b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C当b⊥α时,结合a⊥α,可得a∥b;当a∥b时,结合a⊥α,可得b⊥α.故选C.

3.(2024石景山统练一,5)“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不必要也不充分条件

答案B若直线l与平面α内无数条直线垂直,则直线l可能与平面α平行,可能在平面α内,也可能与平面α相交;若直线l与平面α垂直,则直线l与平面α内无数条直线垂直,故“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件.故选B.

4.(2024届北京十一学校10月月考,10)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过体对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,给出下面几个命题:

①四边形BFD1E一定是平行四边形;

②四边形BFD1E有可能是正方形;

③平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D;

④设D1F与DC的延长线交于M,D1E与DA的延长线交于N,则M、N、B三点共线;

⑤四棱锥B1-BFD1E的体积为定值.

以上命题中真命题的个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案C因为平面AA1D1D与平面BCC1B1平行,平面BFD1E与它们分别交于D1E,BF,所以D1E∥BF,同理可得BE∥D1F,所以四边形BFD1E是平行四边形,故①正确;

如果四边形BFD1E是正方形,则BE⊥D1E,

因为BE⊥A1D1,A1D1∩D1E=D1,所以BE⊥平面A1D1E,

又BA⊥平面A1D1E,所以E与A重合,此时四边形BFD1E不是正方形,故②错误;

连接EF,当E,F分别为AA1,CC1的中点时,四边形BFD1E为菱形,易得EF⊥平面BB1D1D,

所以平面BFD1E垂直于平面BB1D1D,故③正确;

由D1F与DC的延长线交于M,可得M∈D1F,且M∈DC,

又因为D1F?平面BFD1E,DC?平面ABCD,

所以M∈平面BFD1E,M∈平面ABCD,

又因为B∈平面BFD1E,B∈平面ABCD,

所以平面BFD1E∩平面ABCD=BM,

同理,平面BFD1E∩平面ABCD=BN,

所以BM,BN都是平面BFD1E与平面ABCD的交线,

所以B,M,N三点共线,故④正确;

因为VB1-BFD1E=VE-BB

所以E,F到平面BB1D1的距离均为定值,

又△BB1D1的面积为定值,

所以四棱锥B1-BFD1E的体积为定值,故⑤正确.故选C.

二、解答题

5.(2024河南安阳4月质检,18)如图所示,四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=2∠SDA=90°,CD=2AD=2AB=2.点E为线段SC的中点.

(1)求证:SC⊥平面BED;

(2)求点B到平面SCD的距离.

解析(1)证明:过点B作CD的垂线,交CD于点F,如图所示,∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AD,SA⊥AB,

∵∠BAD=∠ADC=2∠SDA=90°,CD=2AD=2AB=2,∴SA=AD=