备战中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优篇含答案.docVIP

备战中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优篇含答案

一、一元二次方程

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．

己知函数(m为常数)．

（1）当=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分

别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和．

（2）见解析,

（3）AM的解析式为．

【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；

（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式

【详解】

（1）当=0时，该函数的零点为和．

（2）令y=0，得△=

∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．

即无论取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有，

由解得．

∴函数的解析式为．

令y=0，解得

∴A()，B(4,0)

作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线的交点就是满足条件的M点．

易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（）

设直线AB’的解析式为，则

，解得

∴直线AB’的解析式为，

即AM的解析式为．

2．某建材销售公司在2019年第一季度销售两种品牌的建材共126件，种品牌的建材售价为每件6000元，种品牌的建材售价为每件9000元.

（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售种品牌的建材多少件？

（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将种品牌的建材在上一个季度的基础上下调，种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，种品牌的建材的销售量增加了，种品牌的建材的销售量减少了，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加，求的值.

【答案】（1）至多销售品牌的建材56件;(2)的值是30.

【解析】

【分析】

（1）设销售品牌的建材件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；

（2）根据题意列出方程求解即可.

【详解】

（1）设销售品牌的建材件.

根据题意，得，

解这个不等式，得，

答：至多销售品牌的建材56件.

（2）在（1）中销售额最低时，品牌的建材70件，

根据题意，得

，

令，整理这个方程，得，

解这个方程，得，

∴（舍去），，

即的值是30.

【点睛】

本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

【解析】

【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；

（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.

【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

4．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±，方程的另一个根是5．

【解析】

【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.

【详解】

（1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）