北师大版数学八年级下册同步讲义第三章第04讲 难点探究专题：旋转中的常见类型(5类题型讲练)（解析版）.docx

第04讲难点探究专题：旋转中的常见类型(5类热点题型讲练)

目录

TOC\o1-3\h\u【类型一线段绕某点旋转综合问题】 1

【类型二直角三角形绕点旋转综合问题】 14

【类型三等腰直角三角形绕点旋转综合问题】 22

【类型四等边三角形绕点旋转综合问题】 37

【类型一线段绕某点旋转综合问题】

例题：（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接．

(1)求证：．

(2)若，求四边形的面积．

【答案】(1)见解析

(2)8

【分析】

本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．

（1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解；

（2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可．

【详解】（1）证明：由旋转性质得，，又，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴四边形的面积为．

【变式训练】

1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，等边三角形内一点D，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)请判断的形状__________，并写出判断的依据__________；

(2)若，求的度数．

【答案】(1)等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

(2)

【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：

（1）由旋转的性质可得，结合旋转角为60度，可证是等边三角形；

（2）先证，推出，再根据是等边三角形，得出，即可求出的度数．

【详解】（1）解：将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，

，，

是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形），

故答案为：等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；

（2）解：是等边三角形，

，，

由（1）知，

，

，

在和中，

，

，

，

是等边三角形，

，

．

2．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）【问题】如下图，中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则线段，之间满足的数量关系式为______；直线，相交所夹的锐角的度数为______；

（2）【探索】如图2，中，，，D为外一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长，交于点F．试问：（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（3）【应用】在（2）的条件下，，．求四边形的面积．

【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）

【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．

（1）先证出，再根据全等三角形的性质求解即可得；

（2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得；

（3）先求出，过点作于点，过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可得．

【详解】解：（1）∵在中，，，

，，

由旋转的性质得：，

，

，

在和中，

，

，

，，

∴直线，相交所夹的锐角的度数为，

故答案为：，；

（2）（1）中的结论成立，证明如下：

同理可得：，

在和中，

，

，

，，

又，

，

解得，

即直线，相交所夹的锐角的度数为；

（3），

∴，

如图，过点作于点，过点作于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，即，

解得（负值已舍），

则

，

所以四边形的面积为．

3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实践与探究

点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．

为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动．

在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)操作发现

①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______；

②请写出线段、、的数量关系，并进行证明．

(2)猜想论证

当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______；

(3)拓展延伸

如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积．

【答案】(1)①；②，见解析

(2)

(3)2

【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键．

（1）①先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；

②根据全等三角形的性质可得，由此即可得；

（2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得；