2023-2024学年上海市曹杨第二中学高一下学期期末考试数学试卷含详解.docx

上海市曹杨二中2023学年度第二学期

高一年级期终考试数学试卷

试卷共3页1张

考生注意：

1．答卷前,考生务必将姓名,班级,学号等在指定位置填写清楚．

2．本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．请考生用水笔或圆珠笔将答案直接写在试卷（或答题卷）上．

一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分）

1．函数的最小正周期为．

2．设,向量,．若,则．

3．若复数是方程的一个根,则．

4．计算：

5．已知,是夹角为的两个单位向量,若向量在向量上的投影向量为,则.

6．函数,的单调增区间为．

7．在中,角,,的对边分别为,,．若是,的等比中项,则角的最大值为．

8．已知,,则．

9．已知是边长为6的等边三角形,是的内切圆上一动点,则的最大值为．

10．若,且,则．

11．设,,．如图所示,函数y=fx的图象与坐标轴依次交于,,三点,直线交函数y=fx的图象于点．若A?2,0,且坐标原点为的重心,则．

12．已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数,均存在,使得．若,则满足条件的数列的个数为．

二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13～14题每题4分,第15～16题每题5分）

13．若复数满足（为虚数单位）,则（????）

A． B． C． D．

14．在中,,则下列说法一定正确的是（????）

A．若,则是锐角三角形 B．若,则是钝角三角形

C．若,则是锐角三角形 D．若,则是钝角三角形

15．设是公比为的无穷等比数列,为其前n项和,,则“”是“存在最小值”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知平面向量满足,则的最大值为（????）

A．2 B． C． D．3

三,解答题（本大题共有5题,满分78分）

17．在中,设角,,所对边的边长分别为,,,已知.

(1)求角的大小,

(2)当,时,求边长和的面积.

18．已知为虚数,且为实数．

(1)求证：,

(2)若为纯虚数,求．

19．设数列的前项和为．已知,且．

(1)求数列的通项公式,

(2)若是公比为4的等比数列,且,,也是等比数列．设,若数列是严格减数列,求的取值范围．

20．设,．已知函数的图像关于直线成轴对称．

(1)求函数的表达式,

(2)若,且为锐角,求,

(3)设,．若函数在区间上恰有奇数个零点,求的值以及零点的个数．

21．设是给定的正整数．对于数列,,…,,令集合．

(1)对于数列,,,直接写出集合,（用列举法表示）

(2)设常数．若,,…,是以为首项,为公差的等差数列,求证：集合的元素个数为,

(3)若,,…,是等比数列,且,公比．求集合的元素个数,并求集合中所有元素之和．

1．

【分析】根据诱导公式和余弦函数的周期公式即可得到答案.

【详解】,则其最小正周期为.

故答案为：.

2．

【分析】依题意,根据数量积的坐标表示得到方程,解得即可.

【详解】因为,且,

所以,解得.

故答案为：

3．

【分析】求出方程的复数根即可求解.

【详解】（为虚数单位）,

故,即,

所以,故.

故答案为：.

4．

【分析】可看作以为首项为公比的等比数列的前项和,根据等比数列前项和公式即可求解.

【详解】可看作以为首项为公比的等比数列的各项和,

故,

当时,原式趋于.

5．

【分析】由投影向量计算公式,结合数量积的运算律计算即得.

【详解】在向量上的投影向量为,则,

于是,所以.

故答案为：

6．

【分析】由的取值范围求出的范围,再令,求出的范围,即可得解.

【详解】由,可得,

令,解得,

所以函数,的单调增区间为.

故答案为：

7．##90°

【分析】由等比中项的性质得到,再由余弦定理及基本不等式求出的范围,即可求出的范围,从而得解.

【详解】因为是,的等比中项,

所以,即,

由余弦定理,当且仅当时取等号,

又,所以,所以角的最大值为.

故答案为：

8．##

【分析】利用两角和差的余弦公式展开,即可求出,,再由同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】因为,

,

所以,,

所以.

故答案为：

9．

【分析】取的中点,建立平面直角坐标系,设,,表示出,,根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得.

【详解】如图取的中点,建立平面直角坐标系,则,,,

则内切圆的圆心在上,设圆心为,则为靠近的三等分点,即,

内切圆的半径,

因为点是的内切圆上一动点,设,,

则,,

所以,

因为,所以,

则,

则,当,即时取得最大值.

故答案为：