2023-2024学年上海市曹杨第二中学高一下学期期中考试数学试卷含详解.docx

上海市曹杨二中2023学年度第二学期

高一年级期中考试数学试卷

试卷共4页1张考生注意：

1,答卷前,考生务必将姓名,班级,学号等在指定位置填写清楚.

2,本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟,请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.

一,填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．函数的零点是.

2．已知两点,则向量的单位向量的坐标为.

3．已知集合,,则.

4．若复数z满足是虚数单位),则．

5．已知平面向量,则在方向上的投影向量为.

6．设为常数,若函数的最大值为5,则.

7．若,且为第三象限的角,则.

8．若,则的值为.

9．已知等边的边长为6,点在边上,且,则.

10．如图,在平行四边形中,点在边上,点在边上,且与相交于点,若,则实数.

11．设均为大于1的自然数,,若存在实数,使得,则有序实数对为.

12．已知平面向量满足：,若,则的最小值为．

二,选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）

13．若,则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分又不必要条件

14．某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,则此人（????）

A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形

C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形

15．已知平面上不共线的三点,点在该平面上且不与重合.若动点满足,则点一定落在的（????）

A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上

C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上

16．在△中,为中点,为中点,则以下结论：①存在△,使得,②存在三角形△,使得∥,则（????）

A．①成立,②成立 B．①成立,②不成立

C．①不成立,②成立 D．①不成立,②不成立

三,解答题（本大题共5题,满分78分）

17．已知,设.

(1)若,求函数的单调减区间,

(2)设为锐角,若函数的最小正周期为,且为偶函数,求的大小以及的值.

18．在中,角,,的对边分别为,,,且,,．

(1)求角的大小,

(2)若,,试判定的形状．

19．如图,某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地,处位于东西方向的直线上的陆地处,处位于海上一个灯塔处,在处用测角器测得,在处正西方向的点处,用测角器测得.现有两种铺设方案：

①沿线段在水下铺设,

②在岸上选一点,设,先沿线段在地下铺设,再沿线段在水下铺设.已知地下,水下的电缆铺设费用分别为2万元,4万元.

(1)求两点间的距离,

(2)请选择一种铺设费用较低的方案,并说明理由.

20．已知平面上不共线的三点,且,是的中点.

(1)若,求的余弦值,

(2)若是线段上任意一点,且,求的最小值,

(3)若是内一点,且,求的最小值.

21．已知函数．若存在非零常数和非零常数,对于集合内的任意实数,恒有成立,则称是上的周期为的级类增周期函数,若存在非零常数和非零常数,对于集合内的任意实数,恒有成立,则称是上的周期为的级类周期函数．

(1)设,已知是上的周期为1的2级类增周期函数,求实数的取值范围,

(2)已知是上的周期为1的级类周期函数,且当时,．若函数在上严格增,求实数的取值范围,

(3)已知,设．试问：是否存在,使是上的周期为的级类周期函数？若存在,求出和相应的的值,若不存在,说明理由．

1．##

【分析】直接解方程即可.

【详解】令,

得,

即函数的零点是.

故答案为：.

2．

【分析】首先求出的坐标,即可,再根据计算可得.

【详解】因为,,

所以,

所以,

则向量的单位向量为.

故答案为：

3．

【分析】先使用集合交集定义,再使用三角函数知识解出结果.

【详解】根据集合交集的定义知.

而,等价于.

所以.

故答案为：

4．

【分析】由先得到,再由复数的除法运算即可得出结果.

【详解】因为,所以.

故答案为

【点睛】本题主要考查复数的运算,熟记除法运算法则即可,属于基础题型.

5．

【分析】结合数量投影的公式,即可求解．

【详解】平面向量,

则,,

故在方向上的数量投影为．

故答案为：．

6．

【分析】首先把函数的关系式变换成正弦型函数,进—步利用函数的最值求出的值.

【详解】因为,其中,

所以,解得.

故答案为：.

7．

【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出,,再由两角和的正弦公式计算可得.

【详解】因为且为第三象限的角,

即,解得（舍去）或,

所以

.

故答案为：

8．##

【分析】利用诱导公式化简原式,可得,再平方化简即可.

【详解】因为,

所以,