空间几何体章节复习讲义-2025届高三数学一轮专题复习.docx

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章节复习2-8-1《空间几何体》

（2套8页，答案16）

知识点1：

1、多面体的面积和体积公式(★必背)

名称

侧面积(S侧)

全面积(S全)

体积(V)

棱

柱

棱柱

直截面周长×l

S侧+2S底

S底·h=S直截面·h

直棱柱

ch

S底·h

棱

锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h★

正棱锥

ch′

棱

台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h(S上底+S下底+)★

正棱台

(c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2、旋转体的面积和体积公式(★必背)

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

S侧

2πrl

πrl★

π(r1+r2)l

S全

2πr(l+r)

πr(l+r)

π(r1+r2)l+π(r21+r22)

4πR2★

V

πr2h(即πr2l)

πr2h

πh(r21+r1r2+r22)

πR3★

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

典型例题1：

观察以下几何体的变化，说出他们的名称，通过比较，说出他们的特征．答案：略；

答案：略；

下列说法正确的是(答案：C；[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D

答案：C；[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]

利用斜二测画法得到：以下结论中，正确的是__________答案：①②；解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．____．(填序号)

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；

③

答案：①②；

解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．

正三棱柱ABC－A1B1C1中，各边的长度都是2，则该三棱柱的表面积是________，体积是________；三棱锥A1－ABC的体积为________，四棱锥A-BCC1B1的体积为答案：，

答案：，，，；

已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，（1）以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．答案：36π，

答案：36π，16π；eq\f(84,5)π，eq\f(48,5)π；

[分析]应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解．

解题流程：

eq\x(\a\al(△ABC,的特征))eq\o(――→,\s\up17(AC⊥BC))eq\x(\a\al(旋转体是两,个同底圆锥))eq\o(――→,\s\up11(底面半),\s\do4(径为CD))eq\x(\a\al(求表,面积))eq\o(――→,\s\up11(高BD，),\s\do4(AD))eq\x(求体积)

[解析]如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.

所以BC·AC＝AB·CD，所以CD＝eq\f(12,5)，记为r＝eq\f(12,5)，

那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝eq\f(12,5)，母线长分别是AC＝3，BC＝4，

所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×eq\f(12,5)×(3＋4)＝eq\f(84,5)π，

V＝eq\f(1,3)πr2(AD＋BD)＝eq\f(1,3)πr2·AB＝eq\f(1,3)π×(eq\f(12,5))2×5＝eq\f(48,5)π.

[特别提醒]求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．

球的直径伸长为原来的2倍，则球的表面积和体积分别变为原来的几倍？（答案：

答案：4倍，8倍；

圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成60°，则圆台的侧面积为____，体积为答案：；

答案：；；

正四棱锥的侧棱长和底面