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专题13.16课题-最短路径（将军饮马问题）
（知识讲解）
【学习目标】
能运用轴对称的性质（将军饮马问题），解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问
题和解决问题的能力．
【要点梳理】
要点一、将军饮马问题的基本作图和解题方法
几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）
B
A
P
图一图二
如图一：A、B为直线外一点，过点A作直线的对称点A,连接AB交直线于
11
PPB
点，则点为所求，此时AP+PB=A最小。
1
几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）
AA
P
MM
PP
BB
ONON
P
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）
的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最
小．
几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短）
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
AA
P
MPMP
BB
ONON
Q
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于
OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ
的周长最小。
几何模型3（2）：两定两动型（将军过桥）（两点之间线段最短）
图1图2图3
【将军过桥】
已知将军在图1中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥
建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通
过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（如
图2）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（如图
3）．
几何模型4：一定两动型（点线之间垂线段最短）
在
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