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将军饮马问题及常见模型

问题概述：路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

方法原理：

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.

基本模型

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP’中，AP´+BP´AB，即AP´+BP´AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小

（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则

需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

3.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

△APQ的周长最小

解：分别作A点关于直线OM的对称点A,关于ON的对

1

称点A，连接AA交OM于点P，交ON于点Q，点

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P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值

即为线段AA的长度；

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理由：由轴对称的性质知AP=AP，AQ=AQ，△APQ的周

12

长AP+PQ+AQ=AP+PQ+AQ，当A、P、Q、A四点共线

1212

时，其值最小.

4..已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；