二项式系数的性质--人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册.pptxVIP

6.3.2二项式系数的性质

复习回顾

1、二项式定理：

(a+b)=C⁰a+C¹a”-1b+…+Cha”-kbk+…+Cb(n∈N*)

2、二项式系数：Ch(k=0,1,…,n)

3、展开式的通项：

(a+b)n展开式的二项式系数

Cn,Cn,C2,…,Cn

有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表

n

展开式的二项式系数

计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：

通过计算、填表，你发现了什么

0

(a+b)n的展开式的二项式系数

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

从上表可以发现，每一行中的系数具有对称性，除此以外还有什么规律?

为了便于发现规律，上表还可以写成如下所示的形式：(a+b)¹————→11

(a+b)²————121

(a+b)³———→1331

(a+b)⁴———→14641

(a+b)⁵——(a+b)⁶——61

观察上图，你还能发现哪些规律?

①在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项

的系数相等.即：

为了便于发现规律，上表还可以写成如下所示的形式：

(a+b)¹————11

(a+b)²———→121

(a+b)³———→1331

(a+b)⁴———→14641

(a+b)⁵—(a+b)⁶—→61

观察上图，你还能发现哪些规律?

②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.即：C7+=C-¹+C

还可以从函数角度来分析它们.

Cn可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：{0,1,2,…,n}

对于确定的n,我们还可以画出它的图像.

例如，当n=6时，f(r)=Cnr(r∈{0,1,2,3,4,5,6})的图象是右图中的7个离散点.

对于(a+b)n展开式的二项式系数：

探究!(1)观察右图，你发现了什f(

么规律?

(2)请你分别画出n=7,8,9时

f(r)=Cnr的图象，比较它们的异同，你

发现了什么规律?

分析右图，可以得到二项式系数的

以下性质：

(1)对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上，这一性质可直接由得到.

直线r=将函数f(r)=Cn的图像分成对称的两部分，它是

图像的对称轴.

当时，Cnk随k的增加而增大；

由对称当时，Cnk随k的增加而减小。当n为偶数时，中间一项取最大值；

当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时

取得最大值。

(2)增减性与最大值

因为Ch=”-n-k+1

即9k

k

n-k+1n+1

3.各二项式系数的和：

例3证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

分析：奇数项的二项式系数的和为

C⁰+C²+C⁴+…

偶数项的二项式系数的和为

由于(a+b)”=Ca”+C¹an-¹b+C²a”-²b²+…+Cb

中的a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和.

例3证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

证明：在展开式

即在(a+b)”的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

中.令a=1,b=-1,则得

归纳小结

性质1:对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

性质2:增减性与最大值

当n为偶数时，中间一项取最大值；

当n为奇数时，中间的两项Cz与C相等，且同时取得最大值.

性质3:二项式系数之和

Cn+Cn+C²+…+Cn=2n

与首末两端等距的两个二项式系数相等，即Cn=Cn

当nt1时，二项式系数是递增的

当n²1时，二项式系数是递减的

当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大C3

当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大

n-1n+1

C⁰+Cl+…+Cn=2