专题4.2等差数列（含答案）高二数学同步培优专练（人教A版2019选择性必修第二册）.pdfVIP

专题4.2等差数列

知识储备

知识点一等差数列的概念

思考1给出以下三个数列：

(1)0,5,10,15,20.

(2)4,4,4,4，….

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它们有什么共同的特征？

【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.

思考2你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？

【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.

知识点二等差中项的概念

思考1观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.

a＋b

【答案】插入的数分别为3,2，，0.

2

思考2如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.

【答案】∵x，A，y组成等差数列，

∴A－x＝y－A，∴2A＝x＋y，

＋

xy

∴A＝.

2

知识点三等差数列的通项公式

思考1对于等差数列2,4,6,8，…，有a－a＝2，即a＝a＋2；a－a＝2，即a＝a＋d＝a＋

212132321

2×2；a－a＝2，即a＝a＋d＝a＋3×2.

43431

试猜想a＝a＋()×2.

n1

【答案】n－1

思考2若一个等差数列{a}，首项是a，公差为d，你能用a和d表示a吗？

n11n

【答案】a＝a＋(n－1)d.

n1

知识点四等差数列通项公式的推广

思考1已知等差数列{a}的首项a和公差d能表示出通项a＝a＋(n－1)d，如果已知第m项a和

n1n1m

公差d，又如何表示通项an?

【答案】设等差数列的首项为a，则a＝a＋(m－1)d，

1m1

变形得a＝a－(m－1)d，

1m

则a＝a＋(n－1)d＝a－(m－1)d＋(n－1)d

n1m

＝am＋(n－m)d.

an－a1an－am

思考2由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义

n－1n－m

吗？

【答案】等差数列通项公式可变形为a＝dn＋(a－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，

n1

a)，(n，a)，(m，a)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a)，(n，a)连线的斜率d＝

1nm