精品解析：北京鲁迅中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）.docxVIP

北京市鲁迅中学

2024-2025学年第一学期期中测试

高三数学

2024.10

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟.

第一部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合，，那么

A. B.

C. D.

2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）

A B.

C D.

3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A. B.

C D.

4.已知向量满足，则（）

A. B.0 C.5 D.7

5.的展开式中的系数为（）

A. B. C. D.

6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）

A. B.3 C.9 D.36

7.已知函数，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.函数是

A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2

C.奇函数，且最大值 D.偶函数，且最大值为

9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.

10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（）

A. B.

C. D.

第二部分（共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数的定义域为___________________

12.边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______．

13.设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________．

14.如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值.这段时间的最大温差为___；的一个取值为___________.

15.已知函数给出下列四个结论：

①当时，的最小值为；

②当时，存在最小值；

③的零点个数为，则函数的值域为；

④当时，对任意．

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在中，.

（1）求；

（2）若，求的面积.

17.已知函数（）在处取得极小值.

（1）求a的值，并求函数的单调区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

18已知函数.

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）若，求函数的值域.

（3）若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围.

19.某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是

两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）

（1）求两点之间的距离；

（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．

20.已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）试比较与的大小，并说明理由．

21.已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．

（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;

（2）若具有性质,证明:;

（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．