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2025年研究生考试考研数学(一301)自测试卷(答案在后面)
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=3
A.6x-2
B.6x-1
C.6x+2
D.6x+1
2、设函数fx=x2sin
A、可导且f
B、可导但f
C、不可导
D、以上都不对
3、设函数fx=x3?
A.x=0
B.x=?
C.x=0
D.x=?
4、设函数fx=x3?
A.3
B.1
C.0
D.?
5、若函数fx=lnx2
A.-1
B.0
C.1
D.无解
6、设函数fx=x2?
A.x=1B.x=?
7、设函数fx=11+
A、0
B、1
C、不存在
D、∞
8、已知函数fx
A.f
B.f
C.f
D.f
9、已知函数fx
A.fx在x
B.fx在x
C.fx在x
D.fx在x
10、设函数fx=lnx2
A.1
B.2
C.2
D.2
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
1、设fx=xe
2、设函数fx=e2x
3、设函数fx=x3
4、设函数fx=2x1+
5、设函数fx=sin
6、设函数fx=x2e?x2在区间[
三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）
第一题
设函数fx=x
（1）求函数fx
（2）求函数fx的导数f
（3）求函数fx
（4）判断函数fx
（5）求函数fx
第二题
题目描述：
设函数fx在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且满足f
解题思路：
此题考查的是微分学中的罗尔定理（Rolle’sTheorem），该定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况。根据罗尔定理的条件，如果函数fx满足在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，并且f
证明过程：
给定条件是fx在a,b上连续，在a,b内可导，且f
1.考虑fx在a
如果fx在a,b上是一个常数函数，则对于所有x
如果fx不是常数函数，由于fx在闭区间a,b上连续，根据极值定理，fx在a,b上达到最大值M和最小值m。因为fa=
2.应用费马定理：
费马定理指出，若fx在点c可导且c是fx的极值点，则
因此，对于上述找到的c，由于fx在a,b
综上所述，无论fx是否为常数函数，都存在至少一个点ξ∈a
第三题
设函数fx=e
（1）函数fx在x
（2）对于任意实数x，都有fx
第四题
题目：
设fx在区间a,b上连续，满足fa=0，且对任意x∈a
解答：
该题目利用了连续函数的性质及导数的绝对值上界来证明函数值的上界。我们将使用分段考虑的方法，具体推导如下：
第五题
已知函数fx=1
（1）判断fx在x
（2）求fx的一阶导数f
（3）验证当x→0时，
第六题
设函数f
其中a是实数。
若fx在x=0
若fx在x=0处可导，求a
第七题
题目：设函数fx在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=
2025年研究生考试考研数学(一301)自测试卷与参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=3
A.6x-2
B.6x-1
C.6x+2
D.6x+1
答案：A
解析：
由导数的定义，我们知道：
f
将fx
f
展开并简化上式，我们得到：
f
f
f
f
当Δx→0
f
因此，答案是A.6x-2。
2、设函数fx=x2sin
A、可导且f
B、可导但f
C、不可导
D、以上都不对
答案：A
解析：要判断函数fx在x=0
f
考虑到sin1h的取值在
?
由于limh
lim
因此，
f
故函数fx在x=
因此，正确答案是A。选项B和C都不对。
选项D是对上述结论的否定，但根据我们的分析，不需要考虑这种情况。
3、设函数fx=x3?
A.x=0
B.x=?
C.x=0
D.x=?
答案：B
解析：首先对函数fx求导得f′x=3x2?6x+4。然后令f′x=0求出驻点，解得x=?1或x=2。接着对驻点进行二阶导数检验，f″x=
4、设函数fx=x3?
A.3
B.1
C.0
D.?
答案：A
解析：首先，我们需要找出函数fx=x
f
令f′
3
因此，x=?1
f
f
f
f
由此可见，函数fx在区间?2,2
5、若函数fx=lnx2
A.-1
B.0
C.1
D.无解
答案：C
解析：
由于函数fx=lnx2
通过对函数lnx2+
f′x=
计算x=
f′0=
所以f′0的值为-1。但注意到选项中没有
仔细检查，可以发现我们在求f′
f′x=
解得：
f′0=
根据正确的计算，f′0=
6、设函数fx=x2?
A.x=1B.x=?
答案：A
解析：观察函数fx=x2?1x?1，可以将其因式分解为fx=x?1x+1x?1。在x≠1的情况下，x?
7、设函数fx=11+
A、0
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