专题05 与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读（解析版）.pdfVIP

专题05与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读

一、基础知识点综

利用平行线构造等腰三角形

A

DE

FG

BC

△ABC为等腰三角形，AB=AC，DE∥BC，FG∥BC，则△ADE，△AFG是等腰三角形.

一线三直角构造全等三角形

AAD

DE

CBECB

∠C=∠ABD=∠E=90°，C、B、E三点共线，AB=BD，则△ABC≌△BDE；

AD

DE

E

CB

∠C=∠EAD=90°，C、A、E三点共线，DE⊥AB，AB=DE，则△ABC≌△DEA；

过角平分线上点向角两边作垂线段

二、典型例题解析

题型一：利用角平分线性质解题题型

例1.（2019·深圳期中）如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=60°，D为△ABC外一点，DA平分

∠BAC，∠CBD=50°，求∠DCB的度数.

【答案】见解析.

【解析】解：

如图，过D作DH⊥AB于H，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，

∵∠PBC=∠BAC+∠ACB=100°，∠CBD=50°，

∴∠DBC=∠DBH，

∴DF=DH，

∵DA平分∠CAB，DH⊥AB，DE⊥AC，

∴DE=DH，

∴DE=DF，

∴CD平分∠BCE，

∵∠QCB=120°，

∴∠DCB=60°.

题型二：一线多用

例2.（2017·北京中考）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段BC上一动点（与点B,C不重

合），连接AP，延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交直线AB与点M。

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.（可用结论：等腰直角三角形斜边长等于腰

长的2倍.）

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：

∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM=90°，

∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；

（2）如图，连接AQ，过M作ME⊥BC于E，

∵AC⊥PQ，QC=PC，

∴∠QAC=∠PAC=α，

∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，

∴AP=AQ=QM，

∴△APC≌△QME，

∴PC=ME，

由△MEB是等腰直角三角形，

12

得PQ=MB,

22

即PQ=2MB.

例3.（2019·河南平顶山周练）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，过C作CE⊥BD，

交BD延长线于E，AF⊥BD于F，求证：BD=2CE.

A

E

D

F

BC

【答案】见解析.

【解析】证明：

如图，延长B