自动控制原理第二章-控制系统的数学模型ppt课件.pptx

在控制系统的分析设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。

静态数学模型，动态数学模型。

建立控制系统数学模型的方法主要有两种：分析法和实验法

本章研究用分析法建立系统的数学模型的方法。

第二章控制系统的数学模型

自动控制原理中数学模型的形式：

时域中常用的数学模型：微分方程、差分方程和状态方程；

复数域中常用的数学模型：传递函数、结构图、信号流图；频域中常用的数学模型：频率特性等。

本章研究微分方程、传递函数和结构图、信号流图这几种数学模型的建立和应用，其余几种数学模型将在以后各种中分别详细阐述。

■2-1控制系统的时域数学模型

■2-2控制系统的复数域数学模型

■2-3控制系统的结构图与信号流图2-4在Matlab中数学模型的表示

2+5本章小结

2-6控制系统建模实例

本章目录

2-1控制系统的时域数学模型

本节着重研究描述线性、定常、集总参量(对应非线性，时变、分布参量)控制系统的微分方程的建立和求解方法。

本节内容：

1.线性元件的微分方程

2.控制系统微分方程的建立

3.线性系统的基本特性

4.线性定常微分方程的求解5.非线性微分方程的线性化

6.运动的模态

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1.线性元件的微分方程

控制系统是由各种物理元件有机组合构成的，因此，在研究控制系统的数学模型之前，我们有必要对常见控制系统中常用的物理元件的数学模型进行研究，最终将这些元件的数学模型合理组合起来就构成了整个控制系统

的数学模型。

举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。(在允许的情况下，通常将非线性特性不强物理元件认为是线性的，以简化处理；如果非线性较强，则不能认为是线性的。)

例2-1图中是由电阻R、电感L和电容C组成的RLC无源网络，试列写以u;(为输入量，以u;(t)为输出量的网络微分方程。

解设回路电流为i(f),由基尔霍夫定律可写出回路方程

为

消去中间变量i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为

显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是上图无源网络的时域数学模型。

例试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为u;(t),输出为u₀(t)。

整理得：

令T₁=R₁C₁,T₂=R₂C₂,T₃=R₁C₂则得

该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。

(两个储能元件)

解根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：

讨论：

比较两个例题的时域表达式的形式

均为二阶线性微分方程，模型结构均为：

因此，验证了不同的系统有结构相似的数学模型(相似系

统)。因此研究某一类通用的数学模型，可以对应很多种

系统，这在下面将要介绍的弹簧质量阻尼器系统中可以得

到更进一步的证实。

另外，对无源网络来说，电感、电容的个数决定了微分方程的阶次。

例2-3图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。

解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F₁(t)和粘性

摩擦阻力F₂(t),根据牛顿第二定律有：

其中F₁(t)和F₂(t)可由弹簧、阻尼器特性写出

式中k——弹簧系数

阻尼系数

代入，

称为时间常数；

称为阻尼比；

称为放大系数。

该网络的数学模型也是一个二阶线性常微分方程。

=1/k

得

整理且标准化

例2-2试写图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压为。输入量，电动机转速为输出量。图中，R分别是电枢电路的电阻和电感；

是折哈到电动机轴上的总负载转矩。励磁磁通设为常值。

La

R

Wm

SM

Ea

十

负载

U

解电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转化为机械能，也就是由输入电枢电压u。(t)在电枢或回路中产生电枢电流i。(t),再由电枢电流i。(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转

矩M(t),从而拖动负载运动。因此直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：

电枢回路电压平衡方程

电磁转矩方程

电动机轴上的转矩平衡方程

以上三式联立，消去中间变量，便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微分方程

二阶微分方程

在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略

不计，上式可简化为

一阶微分方程

如果电枢电阻R和电动机的转动惯量都很小，可以忽略不计时，上式可以简化为

电动机转速与电枢电压成正比，因此，电动机可作为测速发电机使用，构成反馈系统。

□有源电网络

i2(t)

C

a

i₁(t)

R

u₀(t