《15.4角的平分线》学历案.doc

《15.4角的平分线》学历案

2023学年下八年级数学学历案

班级：八年级班姓名：学号：

【学习主题】15.4角的平分线

【课时】1课时

【课标要求】理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

【学习目标】

1、能说出角平分线的概念，知道角平分线是一条射线。

2、可以理解角平分线的性质定理，还能明白角平分线上的点到角两边的距离相等是怎么回事，并且会用这个性质进行简单的计算或者证明。

3、能够理解角平分线性质定理的逆定理，也就是角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，也会用这个逆定理进行简单的判断或者证明。

【评价任务】

（1)通过完成任务1检测目标1；

（2)完成任务2、3中的练习检测目标2；

（3)完成任务4检测目标3。

【学习过程】

复习回顾

1、什么是角呢？角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。

2、我们怎么去度量一个角的大小呢？用度、分、秒来度量。

【任务一】角平分线的概念指向检测目标1

1、同学们，咱们来看一个角，假如把这个角分成两个相等的角，那这条用来分角的射线就很特别啦。大家想一想，这样的射线有什么特点呢？

2、结论：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。注意哦，角平分线是一条射线。咱们可以画个角，然后试着把它平分一下，感受感受角平分线。

【任务二】角平分线的性质定理指向检测目标2

1、现在咱们在纸上画一个角，然后画出它的角平分线。再在角平分线上任取一点，向角的两边作垂线。

2、量一量这两条垂线段的长度，你发现了什么呢？对啦，它们是相等的。这就是角平分线的一个很神奇的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

3、那咱们来做几道题巩固一下吧。

已知角AOB的角平分线是OC，点P在OC上，PD垂直于OA，PE垂直于OB，PD＝3，那么PE＝＿______。

在三角形ABC中，角C＝90度，AD是角BAC的角平分线，DE垂直于AB于E，若BC＝8，BD＝5，那么DE＝＿______。

答案：

因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PE＝PD＝3。

因为AD是角BAC的角平分线，DE垂直于AB，DC垂直于AC（角C＝90度），所以DE＝DC。又因为BC＝8，BD＝5，所以DC＝BCBD＝85＝3，所以DE＝3。

【任务三】角平分线性质定理的证明指向检测目标2

1、咱们光知道角平分线上的点到角两边的距离相等还不够，得知道为什么呢。

2、我们可以用全等三角形的知识来证明。比如，已知OC是角AOB的角平分线，点P在OC上，PD垂直于OA，PE垂直于OB。

首先，我们能得到角AOC＝角BOC（因为OC是角平分线）。

然后，角PDO＝角PEO＝90度。

还有OP是公共边。

根据角角边（AAS）全等判定定理，就能得出三角形PDO全等于三角形PEO。

所以PD＝PE，这样就证明了角平分线的性质定理。

【任务四】角平分线性质定理的逆定理指向检测目标3

1、咱们反过来想一下，如果一个点到角两边的距离相等，那这个点和角平分线有什么关系呢？

2、我们可以做个探究。在一个角的内部取一点，让这个点到角两边的距离相等，然后连接这个点和角的顶点，再证明这条连线就是角平分线。

3、得出结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

4、做个小练习吧。在三角形ABC中，点D在角BAC的内部，DE垂直于AB，DF垂直于AC，DE＝DF，那么AD是角BAC的_______。

答案：因为DE垂直于AB，DF垂直于AC，DE＝DF，根据角平分线性质定理的逆定理，所以AD是角BAC的角平分线。

【检测与作业】指向检测目标2、3

1、已知角MON＝60度，OP是角MON的角平分线，点A在OP上，AB垂直于OM于B，AC垂直于ON于C，AB＝3，则AC＝＿______。

2、在三角形ABC中，角C＝90度，AD平分角BAC，若BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离是_______。

3、在四边形ABCD中，角A＝角C＝90度，BD平分角ABC，求证：AD＝CD。

答案：

1、因为OP是角平分线，根据角平分线的性质定理，所以AC＝AB＝3。

2、因为AD平分角BAC，DC垂直于AC，点D到AB的距离就是垂线段的长度，根据角平分线的性质定理，点D到AB的距离等于DC。又因为BC＝10，BD＝6，所以DC＝BCBD＝106＝4，即点D到AB