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初二数学倍长中线专题

一．求边的数量关系

分析：

本题中，要求三角形一边的范围，不难想到在三角形三边关系中是有所涉及

的。但这里的AC与AB，AD不在同一三角形中，无法直接来求，必须进行适当

转换．由于题目中明确给出中线，则倍长中线，构造全等，将AC转化至某一条

线段，与AB、AD组成三角形．

分析：

本题中，要直接发现BE，EF，CF间的大小关系，是很困难的，三条线段不

在同一个三角形中．受上一题启发，可能有同学会想到倍长中线AD．但是，这

样只能将AC转化至某一条线段，与CF没有关系，因此看到中点D，我们也要想

到倍长“隐藏的”中线FD．再联系到DE，DF为角平分线，邻补角的角平分线互“

相垂直”，∠EDF为90°，想到转化EF，以达到将三条线段转化至同一个三角形的

目的．

小结：

以上两题，均是探究边之间的数量关系，借助倍长中线，构造旋转180°的SAS

型全等，将不是同一三角形的边转化，使之能构成三角形，从而求解．

这对学生的思维能力要求还是比较高的．不光看到中线，有时，看到中点也

要想到这种辅助线作法．

二．证明边等

分析：

本题是经典老题，解法多样．显然图中△BDF和△ECF不全等，不能直接得

到BD＝CE．那就需要对其中一条边进行转化．考虑到F为DE中点，加之有对顶

角的存在，已经有一对边，一对角等，要构造全等很容易，可以再添一对角等，

或者一对边等，这里提供2种方法．

分析：

要证边等，第一步分析能否直接通过证明全等得到，显然不能．想到AD为

△ABC中线，则应该倍长中线，尝试将AC转化到与BF在同一三角形中．

分析：

本题其实是在上一题的基础上，去掉了边BF，即擦除了“中线”，只留了中点

E，再多加了一条AD，所以方法应该不变．

小结：

例2和例3及变式，都是证明边等。但都不能直接通过全等得到，需要用倍

长中线进行转化。而在证明过程中，其实都借助了双等腰三角形的八字形，有一

组对顶角作为中间桥梁。通过四个角等，最后得边等。

由此可见，今后遇到类似题目即出现中点，且要证明不在同一三角形中的边

等，又不能通过证明全等时，我们既要倍长中线，也要顺便构造含双等腰三角形

的八字形，解题时可以事半功倍！