专题11 将军饮马模型(二)(解析版) .pdfVIP

专题11将军饮马模型（二）

【将军过桥】

已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在

何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通

过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．

问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．

中考真题演练

1．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果

ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足

．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若

APBBPCCPA120

ABAC7，BC23，P为ABC的费马点，则PAPBPC5；若AB23，

BC2，AC4，P为ABC的费马点，则PAPBPC．

解：如图，过A作ADBC，垂足为D，

过B，C分别作，则PBPC，P为ABC的费马点，

DBPDCP30

ABAC7，BC23，

1

BDDCBC3，

2

PD3

tan30，

BD3

PD1，

PD

PB2，

sin30

22

ADABBD732，

PAPBPC5；

②如图：

AB23，BC2，AC4，

22，2，

ABBC16AC16

222，，

ABBCACABC90

BC1

，

sinBACsin30

AC2

，

BAC30

将APC绕点A逆时针旋转，

60



由旋转可得：APC△APC，





APAP，，，，

PCPCACACCACPAP60

是等边三角形，

APP

，

BAC90

P为ABC的费马点，





即B，P，P，C四点共线时候，PAPBPCBC，

2222

，

PAPBPCBPPPPCBCABAC(23)427

故答案为：5，27．

2．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点A，分

OABC