专题05 正方形内的”倍半角“问题（题型与解法）（解析版）.pdfVIP

专题05正方形内的“倍半角”问题

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋

转目标三角形法和翻折目标三角形法。

正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥

于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：

EF=DF-BE.

图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠

1

C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

2

图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

1ABCDAB=6ECDCD=3DE△ADEAE△AFE

．如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长

EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；

④∠GAE=45°，其中正确的是（）

A．①②③B．②③④C．③④①D．①②④

∵ABCD

【详解】解：四边形是正方形，

AB=AD=DC=6B=D=90°

∴，∠∠，

∵CD=3DE，

∴DE=2，

ADEAEAFE

∵△沿折叠得到△，

∴DE=EF=2AD=AF∠D=∠AFE=∠AFG=90°

，，，

AF=AB

∴，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中

AG=AG

ì

í，

AB=AF

î

∴Rt△ABG≌Rt△AFGHL

（）．

∴①正确；

∵Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．

设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：

222

CG+CE=EG．

∵CG=6-xCE=4EG=x+2

，，，

222

∴6-x+4=x+2x=3

（）（），解得：．

∴BG=GF=CG=3．

∴②正确；

∵BG=GF=CG=3CD=3DEAB=AD=DC=6DE=EF=2

，，，，

∴GE=GF+EF=5AF=AB=6

，，

11

∴S△AGE=GE´AF=´5´6=15，

22

∴③错误；

ADEAEAFE

∵△沿折叠得到△，

∴△DAE≌△FAE．

∴∠DAE=∠FAE．

ABGAFG