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群论试题及答案

一、选择题（每题2分，共10分）

1.群的运算满足以下哪些条件？

A.封闭性

B.结合律

C.存在单位元

D.存在逆元

答案：ABCD

2.以下哪个不是阿贝尔群的性质？

A.群的运算满足交换律

B.群中任意两个元素的乘积仍然在群中

C.群中存在唯一的单位元

D.群中每个元素都有唯一的逆元

答案：B

3.群的阶数是指：

A.群中元素的个数

B.群中元素的最小公倍数

C.群中元素的最大公约数

D.群中元素的乘积

答案：A

4.以下哪个不是子群的性质？

A.子群是群的一个非空子集

B.子群中的元素对群的运算封闭

C.子群包含群的单位元

D.子群的阶数必须小于原群的阶数

答案：D

5.群的同态映射满足以下条件：

A.保持运算结构

B.映射到的群与原群是同构的

C.保持单位元和逆元

D.映射是双射

答案：A

二、简答题（每题5分，共20分）

1.简述群的定义及其基本性质。

答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件：

-封闭性：对于任意的a,b∈G，有a*b∈G。

-结合律：对于任意的a,b,c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)。

-存在单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有e*a=a*e=a。

-存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

2.什么是群的同构映射？请给出一个例子。

答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f:G→H，它保持群的运算结构，即对于任意的a,b∈G，有f(a*b)=f(a)*f(b)。例如，考虑整数加法群(Z,+)和模n的剩余类群(Zn,+)，映射f:Z→Zn，定义为f(k)=kmodn，这是一个同构映射。

3.解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。

答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g*n*g^-1∈N。例如，考虑群G=S3（所有3个元素的排列），其子群N={e,(12)}（e是单位元，(12)是交换1和2的排列），N是G的一个正规子群。

4.什么是群的直积？请给出一个例子。

答案：群的直积是指两个群G和H的笛卡尔积G×H，配合运算(a,b)*(c,d)=(a*c,b*d)，其中a,c∈G，b,d∈H。例如，考虑群G=Z2（模2的剩余类群）和H=Z3（模3的剩余类群），它们的直积G×H={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)}，配合上述运算构成一个群。

三、计算题（每题10分，共20分）

1.给定群G={e,a,b,c}，其中e是单位元，a^2=b^2=c^2=e，且ab=c，bc=a，ca=b。请计算以下运算：

-(ab)^3

-a*(bc)

答案：

-(ab)^3=c^3=e（因为c^2=e，所以c^3=c*c^2=c*e=c）

-a*(bc)=a*a=a^2=e

2.