《经济数学》教案 3.4不定积分的计算方法.doc

课题

不定积分的计算方法

课时

2课时（90min）第三章总44课时

教学目标

知识技能目标：

（1）理解换元积分的概念，并掌握其应用

（2）理解分部积分法的概念，并掌握其应用

素质目标：

（1）培养数学素质，提高运算能力和数学建模能力．

（2）培养观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力、数学思维能力．

（3）养成良好的学习习惯、实事求是的科学态度．

教学重难点

教学重点：换元积分和分部积分法的概念

教学难点：换元积分和分部积分法的应用

教学方法

讲练结合法、问答法、讨论法、讲授法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

?第1节课：课前任务→考勤（2min）→案例导入（10min）→传授新知（23min）→课堂练习（10min）

第2节课：传授新知（20min）→变式训练（10min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

通过课前任务，使了解所学内容，增加学生的学习兴趣

考勤

（2min）

【教师】使用APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤

【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况

案例导入

（10min）

【教师】提出以下问题：

【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表面面积s的变化率为，其中．求太阳能的能量Q的函数表达式．

【学生】聆听、思考、讨论、回答

【教师】公布正确答案，并引入换元积分法

解．

利用上一节所学的不定积分基本公式，虽然可以求出不少函数的不定积分，但对于此被积函数无法求出其积分．因此，还需要进一步研究求不定积分的方法．下面我们介绍换元积分法．

通过案例导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣

传授新知

（23min）

【教师】引入要讲的知识，讲解换元法的概念，以及利用换元法求解不定积分的方法

知识点换元法

?【教师】讲解换元法

定理2设函数有原函数，且可导，则函数是函数的原函数，即有换元公式

．

换元法可被用来求解被积函数为复合函数的不定积分．在使用时，应先将自变量为的函数不定积分通过凑微分的方式转化为中间变量的函数的不定积分，然后再求解自变量为的函数的不定积分，因此，这种积分方法也称为不定积分的凑微分法．

?【学生】聆听、思考、理解、记录

?【教师】讲解例题（解析详见教材）

例1求不定积分．

例2求不定积分．

例3求不定积分．

例4求下列不定积分．

（1）； （2）．

例5求下列不定积分．

（1）；

（2）．

例6求不定积分．

例7求下列不定积分．

（1）； （2）．

例8求不定积分．

例9求下列定积分．

（1）； （2）．

【学生】聆听、计算、理解、整理笔记

通过教师的讲解和演示，使学生掌握换元法的概念，以及利用换元法求解不定积分的方法

课堂练习

（10min）

【教师】组织学生完成下列题目

求下列不定积分．

（1）．

（2）．

（3）．

【学生】观看、思考、计算

【教师】公布正确答案和演算过程

【学生】对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧

通过课堂练习，使学生理论结合实践，真正掌握所学知识

第二节课

传授新知

（20min）

【教师】引入要讲的知识，讲解分部积分法的概念，以及利用分部积分法求解不定积分的方法

知识点分部积分法

?【教师】讲解分部积分法

定理3设，具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为，

即 ．

对上式两边积分，得，

即 ，

该式称为分部积分公式．

当积分不易计算而比较容易计算时，就可以使用分部积分公式计算不定积分，即先求，然后利用分部积分公式，求出．

利用分部积分公式求不定积分的方法称为不定积分的分部积分法．

?【学生】聆听、思考、理解、记录

?【教师】讲解例题（解析详见教材）

例10求不定积分．

例11求不定积分．

例12求不定积分．

例13求不定积分．

例14求不定积分．

例15计算定积分．

例16计算定积分．

【学生】聆听、计算、理解、整理笔记

通过老师的讲解与例题的演示，使学生充分掌握分部积分法的概念，以及利用分部积分法求解不定积分的方法

变式训练

（10min）

【教师】组织学生进行例题变式训练

1．求． 2．求．

3．求． 4．求．

5．求． 6．求．

7．求． 8．求．

9．求． 10．求．

11．求．