人教版高中数学必修一 精讲精练3.2.2 函数的奇偶性（精讲）（原卷版）.docx

3.2.2函数的奇偶性（精讲）

一．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

1.奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0，偶函数?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.

2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例

3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.

二.函数的奇偶性与单调性

1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](ab)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同).

2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](ab)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反.

三.奇偶函数的运算性质

在公共定义域内：

1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；

3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.

四.函数的对称轴与对称中心(拓展)

(1)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.

(2)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.

一．判断函数奇偶性的方法

1.定义法：一求二看三判断

2.图象法

3.性质法

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

二．利用奇偶性求解析式

1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；

2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).

三．利用函数奇偶性和单调性解不等式

1.利用图象解不等式．

2.转化为简单不等式求解．

（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；

（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．

注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．

四．比较大小的

1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．

2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．

五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用

函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期．

考点一函数奇偶性的判断

【例1-1】（2023·山西）判断下列函数的奇偶性：

；(2)；(3).

（4）；（5）

【一隅三反】

1．（2023春·上海宝山）函数的奇偶性为（????）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

2．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（????）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

3．（2023·北京）下列函数中，是偶函数的是（????）

A． B． C． D．

4．（2023·天津滨海）下列判断正确的是（）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

5．（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（????）

A．若和都是奇函数，则是奇函数

B．若和都是偶函数，则是偶函数

C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数

D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数

考点二奇偶函数的图像特征

【例2】（2022秋·安徽马鞍山）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，．