9.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-10年高考数学真题分类汇编.docx

9.3离散型随机变量及其分布列、均值与方差

考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差

1.(2020课标Ⅲ理,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(

A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1

C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2

答案B根据均值E(X)=i=14xipi,方差D(X)=i=14[xi-E(X)]2·pi

选项

均值E(X)

方差D(X)

标准差D(X)

A

2.5

0.65

0.65

B

2.5

1.85

1.85

C

2.5

1.05

1.05

D

2.5

1.45

1.45

由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.

2.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量ξ的分布列是

ξ

0

1

2

P

1

1

p

则当p在(0,1)内增大时,()

A.D(ξ)减小

B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先减小后增大

D.D(ξ)先增大后减小

答案D本小题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.

由题意得E(ξ)=0×1?p2+1×12+2×

D(ξ)=0?12+p2·1?p

=18[(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·

=-p2+p+14=-p?1

由01?p21,0p21,1?p

3.(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E(ξ)=

答案1;8

解题指导:由古典概型概率计算公式求得m+n+4的值,再利用概率公式求出m,从而得n的值,进而求出m-n;利用超几何分布的概率公式分别求出ξ=0,1,2的概率,然后利用数学期望公式即可得到结果.

解析∵P(ξ=2)=C42Cm+

∴m+n+4=9,

又∵P(一红一黄)=C41·Cm

∴n=2,

∴m-n=1.

P(ξ=0)=C52C92=1036=518,P(ξ=1)

∴E(ξ)=518

4.（2023课标I，21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．

【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，

所以，

.

（2）设，依题可知，，则

，

即，

构造等比数列，设，解得，则，

又，所以是首项为，公比为的等比数列，

即．

（3）因为，，

所以当时，，

故．

5.(2022全国甲理,19,12分,应用性)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率;

(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.

解析(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.

则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)

∴甲学校获得冠军的概率为35

(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30.

则P(X=0)=P(B1B2B

P(X=10)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3

=12

P(X=20)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3)+P(B1B2

=12

P(X=30)=P(B1B2B3)=12

∴X的分布列为

X

0

10

20

30

P

4

11

17

3

∴E(X)=0×425+10×

6.(2021新高考Ⅰ,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,