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贵州省铜仁伟才学校2023-2024学年高三年级第二学期期初考试数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为()

A． B．40 C．16 D．

2．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）

A． B． C．24 D．

3．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）

A．1 B． C． D．

4．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=()

A．132 B．299 C．68 D．99

5．已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为

A． B． C． D．

6．已知函数,则方程的实数根的个数是（）

A． B． C． D．

7．以，为直径的圆的方程是

A． B．

C． D．

8．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（）

A． B． C． D．

9．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

10．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（）

A． B． C． D．

11．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（）

A．2 B．3 C．4 D．

12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.

14．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．

15．已知无盖的圆柱形桶的容积是立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为________元.

16．若，则________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．

18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.

（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.

（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

19．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）（文科）求三棱锥的体积；

（理科）求二面角的正切值.

20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.

（1）当时，求与的交点的极坐标；

（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.

21．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

22．（10分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.

【详解】

如图所示：过分别作于，于.

，则，

根据得到：，即，

根据得到：，即，

解得，，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

2、A

【解析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.

【详解】

解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，

，，，

，