北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025届高三上学期11月统练（期中）数学试题（解析版）.docxVIP

人大附中朝阳学校2024~2025学年度上学期高三年级期中试卷

数学试题

2024年11月1日出题人：金鑫审题人：高爽

一?选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别确定集合，，根据并集的概念求可得答案.

因为，，

所以.

故选：B

2.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案.

对A：因为函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；

对B：，所以函数偶函数，故B错误；

对C：根据正切函数的性质可知，函数在不具有单调性，故C错误；

对D：函数的定义域为，，故函数为奇函数，

又，所以函数在0,+∞上单调递增.

故选：D

3.若，则向量与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解.

因为，所以，

即，所以，

所以，

又，

所以向量与的夹角为.

故选：B.

4.设为等比数列的前项和，已知，则公比（）

A.2 B.-2 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据数列的前项和与的关系，两式相减，即可求解.

由已知，，两式相减得，

，即，即.

故选：A

5.下列命题中，真命题的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

【答案】D

【解析】

【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D.

对A，当时，则，故A错误；

对B，当时，则，则，故B错误；

对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误；

对D，若，则，

当且仅当时取等号，故D正确.

故选：D.

6.设是三个不同平面，且，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.

若，，则由平面平行的性质定理：得；

但当，时，可能有，也可能有相交，

如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，

另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

7.函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先把函数解析式化成的形式，再结合函数的周期和值域求值.

因为.

由函数图象可知：；

又，所以，又.

故选：B

8.已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（）

A.3 B.2 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.

如图:令，，则，故.

因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.

设，连接，因为，所以点在直线上.

因为，所以，即，所以.

结合图形可知，当时，即取得最大值，且.

故选：D

【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.

9.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，则该几何体的体积为（）

A. B. C.27 D.

【答案】C

【解析】

如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成.

记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为，

则，

因为两个直三棱柱相同，故，

所以

.

故选：C.

10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.

如图，建立平面直角坐标系，

设动点P的轨迹