人教版高中数学必修一 精讲精练2.2 基本不等式（精讲）（解析版）.docx

2.2基本不等式（精讲）

一.重要不等式

对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.

二．基本不等式

1.定义：如果a0，b0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2．常用变形

(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.

①一正：各项必须为正.

②二定：各项之和或各项之积为定值.

③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.

三.利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

利用基本不等式求条件最值的常用方法

1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

二．利用基本不等式比较实数大小

(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).

(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.

三．利用基本不等式解决实际问题的步骤

1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.

4.正确写出答案.

四．利用基本不等式证明不等式

1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件．

2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．

考点一直接型

【例1-1】（2023春·陕西榆林）已知，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】因为，

由基本不等式可得，可得，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.

【例1-2】（2023·陕西）已知，则当取最大值时，的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得，则，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值.故选：B.

【一隅三反】

1．（2023春·湖南邵阳）已知，，则的最大值为（????）

A．6 B．9 C．12 D．36

【答案】B

【解析】因为，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为.故选：B.

2．（2023·高一课时练习）已知，那么c的最大值为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】由于，所以，当且仅当时，等号成立，即c的最大值为1，故选：A.

3．（2023福建省）已知，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D.

4．（2023安徽）已知，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，可得，则，

当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为.故选：C.

考点二替换型

【例2-1】（2023·江西景德镇）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【解析】因为x，，x＋2y＝1，

则，

当且仅当，即时取等.故选：B.

【例2-2】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（????）

A．25 B． C．26 D．19

【答案】A

【解析】因为正数a，b满足，

所以

，当且仅当，联立，

即时等号成立，