人教版高中数学必修一 精讲精练5.3 诱导公式（精讲）（解析版）.docx

5.3诱导公式（精讲）

诱导公式

公式

终边关系

图示

公式

公式二

角π＋α与角α的终边关于原点对称

sin(π＋α)＝－sinα

cos(π＋α)＝－cosα

tan(π＋α)＝tanα

公式三

角－α与角α的终边关于x轴对称

sin(－α)＝－sinα

cos(－α)＝cosα

tan(－α)＝－tanα

公式四

角π－α与角α的终边关于eq\a\vs4\al(y)轴对称

sin(π－α)＝sinα

cos(π－α)＝－cosα

tan(π－α)＝－tanα

公式五

公式六

记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：

①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．

②“奇”“偶”是对k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中的整数k来讲的．

③“象限”指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四

一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”：用公式一或三来转化.

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.

(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.

(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.

二．三角函数式化简的常用方法

(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.

②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.

(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.

三．诱导公式综合应用要“三看”

一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．

二看函数名称：一般是弦切互化．

三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．

考点一给角求值问题

【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．

(1)；(2)；(3)．（4）；（5）.

【答案】(1)(2)(3)（4）；（5）

【解析】（1）．

（2）．

（3）

（4）.

（5）原式

.

【一隅三反】

1．（2023秋·新疆塔城）的值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.故选：A.

2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三角函数的定义可得，则.

故选：D

3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.

(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7)．

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)1

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

（5）．

（6）.

（7）．

考点二化简求值问题

【例2】（2023秋·高一课时练习）已知的终边与单位圆交于点，且为第二象限角，试求的值．

【答案】

【解析】由题意得，解得，

因为为第二象限角，可得，所以，所以，

所以.

【一隅三反】

1．（2023秋·高一课时练习）已知，且为第三象限角．求的值．

【答案】

【解析】.

2．（2023秋·高一课时练习）已知，且为第二象限角,，则的值为（????）

A．－ B．－

C． D．－

【答案】C

【解析】因为，且为第二象限角，所以，

则

故选:C.

3．（2023春·陕西西安）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】????

又因为，，，

故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：

考点三给值(或式)求值问题

【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知，则的值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，

则.

故选：D.

【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若=，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

故选：D.

【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，又，所以

故选：D

【一隅三反】

1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为.故选：B.

2．（2023秋·山东德州）已知，则等于．

【答案】/

【解析】.

故答案为：

3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知，则的值为；

【答案】

【解析】，

，

，

，

.

故答案为：.

考点四利用诱导公式证明恒等式

【例4】（2022·高一课时练习）求证：．

【答案】证明见解析

【解析】证明：左边

=右边，所以原式成立