初三相似知识点及典型习题.docx

初三相像

〔一〕合比性质、等比性质：

例一

(二)平行线分线段成比例定理

:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例.l1∥l2∥l3,

ADl1

BEl2

CFl3

可得

:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

是“A〞字型

是“A〞字型

是“8〞字型

常常考，关键在于找

由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

：假设一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.则这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比例式证平行线)

:平行于三角形的一边,并且与其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假设在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

例一，如图，DE∥BC，EF∥AB，则以下比例式错误的选项是：____________

例二，〔2021?新疆〕如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是〔〕

重要结论：梯形，在AD、BC、EF中，任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。

例二，：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且与两底平行，交AB于E，交CD于F

求证：OE=OF

〔三〕相像三角形

相像三角形的断定：三角形相像的断定方法与全等的断定方法的联络列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的断定

SAS

SSS

AAS〔ASA〕

HL

相像三角形

的断定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

相像三角形的性质：

相像三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线〕的比等于相像比〔相像三角形的对应边的比，叫做相像比〕。

相像三角形周长的比等于相像比。

相像三角形面积的比等于相像比的平方。

例一，〔2021?内江〕如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=〔〕

A．

2：5

B．

2：3

C．

3：5

D．

3：2

例G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。

射影定理〔要记住〕

例一，如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，

求证：AG2=AF·FC

常用到的性质：

※等腰三角形的“三线合一〞：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

例一，〔2021?自贡〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为〔〕

A．

11

B．

10

C．

9

D．

8

例二，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，假设∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

例三，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB，

〔1〕求证：CE=EF

〔2〕求EG的长

※等边三角形是特别的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的

直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必定等于斜边的一半。

※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。

※假设知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：〔留意区分斜边与直角边〕

②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，则它所对的直角边等于斜边的一半

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半〔此定理将在第三章出现〕

※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。〔留意着重号的意义〕

直线与射线有垂线，但无垂直平分线

※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点间隔相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点间隔相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

ACBO图1图2

A

C

B

O

图1

图2

O

A

C

B

D

E

F

※角平分线上的点到角两边的间隔相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，假设一点到角两边的间隔相等，则它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边间隔相等的全部点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边间隔相等，交点即为三角形的内