专题8 将军饮马模型(学生版) .pdfVIP

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专题将军饮马模型

解题策略

模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.

模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．

作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB

模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，PAPB的最大值为AB

模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．

作点B关于直线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最大值为

AB

1

模型5：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小．

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最小值为0

模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周

长的最小值为P′P″

模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．

作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C

2

经典例题

【例】．（湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形

12022·

分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC

中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．

证明直线是的自相似分割线；

(1)AD△ABC

(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．

(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当AQ+5−1CQ取最小值时，求∠QAC的正弦值．

4

3

2

【例2】．（2021·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，

4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；

点为直线上的动点，求△周长的最小值；

(2)PlPBC

点为直线上的一点（点不与点重合），在抛物线上是否存在一点，使以点、、、为顶点

(3)NABNFMEFNM

的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

4

【例3】（2022·浙江