《微积分》教案 6.2 一阶线性微分方程.docx

PAGE6

PAGE6

PAGE5

PAGE5

课题

一阶线性微分方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶线性微分方程的求解方法

（2）熟练掌握用公式及常数变易法求解一阶线性微分方程的方法

素质目标：

（1）通过数学建模能力的提升，培养其创新精神

（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质

教学重难点

教学重点：求解一阶线性微分方程的方法

教学难点：一阶线性微分方程公式法的推导

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

一曲线过原点，且在点处的切线斜率等于，求此曲线方程．

你能写出这个方程表达式吗？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解一阶线性微分方程的相关知识

一、一阶线性微分方程的求解

【教师】提出一阶线性微分方程的定义，并强调其特点

定义6.2.1形如

（6-18）

的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中，为已知函数．当时，称

（6-19）

为一阶齐次线性微分方程，也称为式（6-18）对应的齐次方程．

下面我们来求式（6-18）的通解．为此，先求式（6-19）的通解．对式（6-19）分离变量得

，

积分得

或 ． （6-20）

式（6-20）为式（6-19）的通解．

下面用常数变易法来求式（6-18）的通解．把式（6-20）中的常数看成的函数，即假定式（6-18）有形如

（6-21）

的解．式（6-21）两边关于求导得

．

代入式（6-18）得

，

即 ． ?（6-22）

于是，代入式（6-21）得

． （6-23）

式（6-23）就是通过常数变易法得到的式（6-18）的通解．这里不要求读者在求解一阶线性微分方程的题目时会使用该方法，只要求大家熟记并直接利用式（6-23）解题，而利用式（6-23）解题的前提是要把所给的方程写成式（6-18）的形式，或明确方程中哪些因子是和．公式推导过程中出现了三次不定积分的求解，结果都不需要带不定常数，只需找一个原函数即可．

二、一阶线性微分方程求解举例

【教师】通过例题，总结求解一阶线性微分方程的方法

例6.2.1求方程的通解．

解方程两边同除以得

，

这里，，．由式（6-23）得方程的通解为

?

．

当然本题也可看作一阶齐次方程来求解，即令，请读者自己完成．

例6.2.2求方程的通解．

解由式（6-18）、式（6-23）得

?．

例6.2.3一曲线通过原点，曲线上任意点的切线斜率为，求此曲线的方程．

解由导数的几何意义得

，

即 ．

于是有

?．

由初始条件得，故所求曲线为

．

下面我们来解决导引中的问题．因为，即，所以

．

因为它过原点，故，故所求曲线方程为．

例6.2.4求微分方程满足条件的特解．

解原方程不是关于未知函数，，的一阶线性方程，现改写方程为

，

则它是关于，的一阶线性方程，，．由式（6-23）得通解为

．

将条件代入上式，得，于是所求方程的特解为．

例6.2.5跳伞运动员降落过程的运动方程是

，

其中，是空气阻力，为大于零的常数，它依赖于降落伞的形状和降落总质量．求时速度的极限．

解方程两边同除以并整理得

，

这是一阶线性微分方程，由式（6-23）得它的通解为

．

因为起跳的时刻速度为零，即，代入上式得．所以降落伞在降落过程中速度与时间的函数关系为

．

于是

．

这说明降落伞在降落过程中速度（按指数衰减率）会很快变成常量．一般可通过选取适当的常数，使跳伞运动员以左右的速度着地，因此跳伞运动并不像我们想像得那么可怕．

三、伯努利方程求解（*）

【教师】总结求解伯努利方程的方法

伯努利方程的形式为

．

其求解方法如下．

令，于是

．

将上式代入方程得

，

化简得

，

即 ．

这样，原方程就转化为一阶线性微分方程的形式．

例6.2.6解常微分方程．

解令，原方程化为．由公式得

．

所以，方程的通解为．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

强化练习

【教师】组织学生以小组为单位，完成以下习题

（1）求解以