《经济数学》教案 3.1定积分的概述.doc

课题

定积分的概述

课时

2课时（90min）第三章总38课时

教学目标

知识技能目标：

（1）理解定积分的定义

（2）掌握定积分的几何意义

（3）掌握定积分的性质，及其应用

素质目标：

（1）培养数学素质，提高运算能力和数学建模能力

（2）培养观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力、数学思维能力

（3）养成良好的学习习惯、实事求是的科学态度

教学重难点

教学重点：应用定积分的定义、几何意义和性质

教学难点：定积分性质的应用

教学方法

讲练结合法、问答法、讨论法、讲授法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

?第1节课：课前任务→考勤（2min）→问题导入（10min）→传授新知（23min）→课堂讨论（10min）

第2节课：传授新知（20min）→变式训练（10min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

通过课前任务，使了解所学内容，增加学生的学习兴趣

考勤

（2min）

【教师】使用APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤

【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况

问题导入

（10min）

【教师】提出以下问题：

在以前的学习中，我们掌握了很多规则几何图形的面积计算公式，如圆、三角形、矩形等，但在实际生活中经常要计算由几条曲线围成的不规则的平面几何图形的面积．那么，这样的平面几何图形的面积如何计算呢？

【学生】思考、讨论、举手回答

通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣

传授新知

（23min）

【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解定积分的定义和几何意义

知识点定积分的背景

?【教师】通过引例介绍定积分概念的具体意义

引例1求曲边梯形的面积．在直角坐标系中，由闭区间上的连续曲线，直线，及轴所围成的平面图形称为曲边梯形，如图3-2所示，图形为曲边梯形，其面积用表示．

图3-2

求曲边梯形面积的难点在于曲边梯形的高在闭区间上是变化的，因而无法用矩形面积公式求解．那么该如何计算曲边梯形的面积呢？

计算步骤：

（1）作分割→（2）取近似→（3）求和式→（4）取极限

……（解析详见教材）

引例2变速直线运动的路程．设一物体做变速直线运动，其速度是时间在区间上的连续函数，且，求物体在这段时间内经过的路程．

对于匀速直线运动，有公式

路程速度时间．

当速度为变量时，所求路程不能用匀速直线运动的路程公式计算．但是，由于变速直线运动在很短的一段时间里速度的变化很小，可近似于匀速，因此可以在很短时间内用匀速直线运动路程作为变速直线运动路程的近似值．类似地，可采用与求曲边梯形的面积相同的四个步骤来计算路程．

计算步骤：

（1）作分割→（2）取近似→（3）求和式→（4）取极限

……（解析详见教材）

知识点定积分的定义

?【教师】讲解定积分的定义

定义1设函数在区间上有定义．用一组分点

将区间分成个小区间，各小区间的长度可记为．在每个小区间上任取一点，得相应

的函数值，作乘积，并作和．

令，若，存在，则称函数在上可积，并称此极限值为函数在区间上的定积分，记作，即

．

其中，符号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，区间称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．

?【学生】聆听、思考、理解、记录

知识点定积分的几何意义

?【教师】讲解定积分的几何意义

由引例1可知定积分的几何意义：当时，定积分表示由曲线，直线，及轴围成的曲边梯形的面积，即．

如果，曲边梯形位于轴下方，和式，即

．

此时定积分的几何意义为该曲边梯形面积的相反数，如图3-4所示．

当在区间上有正有负时，则定积分的几何意义为曲边梯形在轴上方各部分的面积与曲边梯形在轴下方各部分的面积的代数和（轴上方面积取正号，轴下方面积取负号）．例如，图3-5所示定积分计算方法为．

特别的：（1）若是区间上连续的奇函数，则．

（2）若是区间上连续的偶函数，则．

?【学生】聆听、思考、理解、记录

?【教师】讲解例题（解析详见教材）

例1利用定积分表示图3-6中各阴影部分的面积．

图3-6

例2利用定积分的几何意义，求下列定积分．

（1）； （2）．

【学生】聆听、计算、理解、整理笔记

通过教师的讲解和演示，使学生理解定积分的定义和几何意义

课堂练习

（10min）

【教师】组织学生完成下列题目

利用定积分的几何意义，求下列定积分．

（1）；