人教版八年级上册 13.4 将军饮马模型浅解 讲义 .pdfVIP

人教版八年级上册13.4将军

饮马模型浅解讲义

将军饮马问题

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题〔轴对称是工具，最短距离是题

眼〕。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距

离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比方题目经常会出现线段a+b

这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对

称解题。

将军饮马故事

“将军饮马〞问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段

最短问题〞

原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B

地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？

•A

•B

模型一：一条定直线，同侧两定点

在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。

一般做法：作点A〔B〕关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点

即为所求点。A’B即为最短距离。

理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=A’P。

所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就

可以了。

例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，

同时向新落成的A、B两个居民小区送电。两个居民小区A、B分别到主干线的

距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。

〔1〕如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图〔1〕所示，那么分支

点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？

〔2〕如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图〔2〕所示，那么分支

点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？

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LL

•A•B

B’

•A••

B’

•B•

•

A’

A’

模型二：一条定直线，一定点，一动点

如图，直线L和定点A，在直线K上找一点B

，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。

做法：做A点关于l的对称点A`点，

再过A`点做AB垂直k于B点，交l于P

点，此时AP+PB值最小。

理由：对称后，AP=A`P,A`点到直线k的

最短距离为垂线段A`B，故AP+PB的最小值为

A`B。

模型三：一定点，两条定直线

如图，在∠OAB内有一点P，在OA和

OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短

〔题眼〕。

一般做法：作点P关于OA和OB的

对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的

交点即为所求点。P1P2即为最短周长。

理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以

PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1

到P2的最短距离，直接相连就可以了。

模型四：两定点，两条定直线