【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇）（解析版讲义） .pdf

第13讲相似三角形的性质与判定（提高篇）

【热考题型】

判断与相似有关结论的正误

尺规作图与相似三角综合运用

利用相似的性质与判定证明三角板与相似三角综合运用

利用相似的性质与判定求线段比值

相似三角形的性质与判定（提高篇）

J裁剪与相似三角综合运用

利用相似的性质与判定求最值

折叠与相似三角综合运用

利用相似的性质与判定解决几何动点问题

【题型一】尺规作图与相似三角形综合运用

1.（23-24九年级上•福建泉州•期中）求证三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的!.

⑴如图，在』BC中，用尺规作出A8边上的中线CD,AC边上的中线BE,且CQ与BE交于点G（不写做

法，保留作图痕迹）.

（2）在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形的中线的性质及尺规作图.

（1）根据三角形的中线的定义作出图形即可；

（2）根据三角形中线的性质，证明一GOESGCB,由三角形相似的性质即可证明.

【详解】（1）解如图所示，

A

(2)解已知在ABC中，CD、庞分别是A8、AC边上的中线，且既与交于点G.求证GE=、BE,

GD=、CD.

3

证明连接庞,

D、E分别是边A8、AC的中点,

DE//BC,=—,

BC2

GDEsGCB,

.GDGEDE_1

.GPGE_1

^CD~^E~3f

11

;.GE=—BE,GD=-CD.

33

2.(2023-山西太原•模拟预测)如图，在RtAABC中，?B90?,BC=2,AB=4.

(1)实践与操作利用尺规作AC边上的垂直平分线庞，垂足为E,交A8于点0(要求尺规作图并保留

作图痕迹，不写作法，标明字母).

(2)求出线段庞的长.

【答案】（1）见解析

（2）也

2

【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可；

（2）先利用勾股定理计算出AC=2《,再利用线段垂直平分线的性质得到AE=0DELAC,接着证明

△ADEsMCB,然后利用相似比计算庞的长.

【详解】（1）解如图，

DE为所作的AC边上的垂直平分线；

(2)解Q?890?,BC2,AB=4,

在RtAABC中，由勾股定理得

AC=Jb2+BC2=2$

庞垂直平分AC,

;.AE=£,DEIAC,

VZA=ZA,ZAED=ZABC=90°,

/\ADEs/\ACB,

.DE^AE即丝=也

BC~ABE_丁

解得=

2

..・线段庞的长为也.

2

【点睛】本题考查了作图基本作图熟练掌握基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的

性质.

3.（22-23九年级上•山西吕梁•期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边A8上的一点，连接CE.

HD

⑴在8。的右侧求作△AE,使得EF//BD,且EF=^BD；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕

迹）

（2）在（1）的条件下，若/ef=」/bc,求证eKef.

【答案】⑴见解析;

⑵见解析.

【分析】（1）连接AC交8D于0,在8。右侧作ZCEF=ZCBD,再在射线时截取连接AE.AF,

即可得瑟1时；

（2）延长