广州天河区广州中学2023-2024学年高三数学试题第一次模拟考试试题.doc

广州天河区广州中学2023-2024学年高三数学试题第一次模拟考试试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知且，函数，若，则（）

A．2 B． C． D．

2．设为的两个零点，且的最小值为1，则（）

A． B． C． D．

3．已知函数，则下列判断错误的是（）

A．的最小正周期为 B．的值域为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

4．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）

A． B． C． D．

5．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）

A． B． C． D．

7．为虚数单位,则的虚部为（）

A． B． C． D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）

A． B． C． D．

9．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()

A． B．

C． D．

10．如果，那么下列不等式成立的是（）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

12．已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为（）

A．1 B．

C．2 D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在中，，，则_________.

14．假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为，乙跑出优秀的概率为，丙跑出优秀的概率为，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________．

15．已知，满足约束条件，则的最小值为__________.

16．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.

18．（12分）已知数列和满足：.

（1）求证:数列为等比数列；

（2）求数列的前项和.

19．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．

（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．

20．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民

农村居民

合计

经常阅读

100

30

不经常阅读

合计

200

（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

21．（12分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点.

（1）证明：∥面；

（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.

22．（10分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.

（1）求和的值；

（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.

【详解】

由题意知：

当时，且

由于，则可知：，

则，

∴，则，

则.

即.

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

2、A

【解析】

先化简已知得,再根据题意得出f（x）的最小值正周期T为1×2，再求出ω的值．

【详解】

由题得,

设x