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2024-2025学年上海市嘉定区中科院上海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分）

1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是

A． B． C． D．

2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是

A． B． C． D．

3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（3分）下列说法中，正确的是

A．如果和是相反向量，那么

B．如果和是平行向量，那么

C．如果，那么

D．如果，那么

5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是

A． B． C． D．

6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是

A．如果，，那么四边形是矩形

B．如果，，那么四边形是矩形

C．如果，，那么四边形是菱形

D．如果，，那么四边形是菱形

二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果，那么．

8．（4分）方程的根是．

9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则．

10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么．

11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为．

12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为．

13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为．

14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为．

15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为．

16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于．

17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么．

18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为．

三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分）

19．（10分）计算：．

20．（16分）（1）解方程：．

（2）解方程组：．

21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，．

（1）试用向量，表示下列向量：；；

（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）

四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分）

22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接．

（1）求证：；

（2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形．

23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、．

（1）求证：；

（2）延长、相交于点，当时，求证：．

24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务．

教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．

如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形．

（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为，那么可以得到等式：．

整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式．

（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）

（3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么．（直接写出答案）

25．（14分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．

（1）如图，当点与点重合时，求的长；

（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．

参考答案

一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分）

1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是

A． B． C． D．

解：．不是一次函数，不符合题意；

．不是一次函数，不符合题意；

、不是一次函数，不符合题意；

、是一次函数，符合题意；

故选：．

2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是

A． B． C． D．

解：中方程的分母中不含未知数