《微积分》教案 6.3 可降阶的二阶微分方程.docx

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课题

可降阶的二阶微分方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握两种高阶微分方程的解法

（2）理解降阶法的思想

素质目标：

（1）通过数学建模能力的提升，培养其创新精神

（2）培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质

教学重难点

教学重点：两种高阶微分方程的解法

教学难点：区分两种解法的不同

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

案例导入

【教师】提出问题：

设在冲击力的作用下，质量为的物体以初速度在一水面上滑动，作用于物体的摩擦力为（为常数），求该物体的运动方程，以及物体能滑多远？

试问：你能写出该方程吗？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二阶微分方程及其解法

一、型

【教师】总结型微分方程的解法

微分方程的右端不显含未知函数，此时可令，则，代入方程得

，

这是关于变量和的一阶微分方程，它比原方程降低了一阶，若能求出它的通解

，

则原方程的通解为

．

一般地，不含的可降阶的二阶微分方程，都可以按上述方法求其通解．

例6.3.1求方程的通解．

解原方程是型．

令，，方程化为．利用一阶非齐次线性方程求通解公式，得

??，

即 ．

所以原方程的通解为

．

例6.3.2求微分方程满足初始条件，的特解．

解所给方程中不显含未知数及自变量，这也是不含的可降阶的二阶微分方程．

令，，代入原方程，得

，

即，所以，由得

．

从而 ，

即．解得．又由，得．所以原方程的特解为

．

以上方法可以推广到阶微分方程．

例如，是一种可降阶的三阶微分方程，对该式两边积分一次，得到二阶微分方程，即

，

其中，是的原函数．现对上式两边积分一次，得

，

其中，是的原函数．现对上式两边积分一次，得

，

其中，是的原函数．

例6.3.3求微分方程的通解．

解对题中所给微分方程两边积分一次，得

，

对上式微分方程两边积分一次得

，

对上式微分方程两边积分一次得

????．

二、型

【教师】总结型微分方程的解法

微分方程右端不显含自变量，此时可令．根据复合函数的求导法则，有

．

代入方程，得

，

这是关于的一阶微分方程．设它的通解为

，

分离变量并积分，便可得方程的通解为

．

例6.3.4求的通解，并求满足初始条件，的特解．

解原方程是不显含自变量的方程．令，则，于是原方程可化为

，

即 ．

当时，即，所以．因为，所以舍去．

当，时，，积分得

，

即，再分离变量后积分，得通解为

．

利用初始条件，，可得，，故所求的特解为

．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

知识拓展

【教师】讲解两种可降阶微分方程的解法的区别

【学生】聆听、记录、思考

强化练习

【教师】组织学生以小组为单位，完成以下习题

（1）求解的通解．

（2）求解满足初始条件的特解．

（3）试求满足的经过点且在此点与直线相切的积分曲线．

【学生】分组、思考、讨论、解题

【教师】公布正确答案，并讲解解题思路

【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧

课堂小结

【教师】简要总结本节课的要点

两种可降阶微分方程的求解方法

【学生】总结回顾知识点

作业布置

【教师】布置课后作业

回顾本节课所讲知识，完成习题6.3中的习题

【学生】完成课后任务

教学反思