八年级数学竞赛培优专题及答案17等腰三角形的判定优选x .pdfVIP

专题17等腰三角形的判定

阅读与思考

在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总

结.

1.等腰三角形的判定：

⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；

⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等.

2.证明线段相等的方法：

⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；

⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；

⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等.

善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧.常

见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示：

例题与求解

【例1】如图，在△ABC中，AB=7,AC=11,点M是BC的中点，AQ是/BAC的平分线，MF//AD,则CF

的长为.

（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点

【例2】如图，在AABC中，ZB=2ZC,则AC与2AB之间的关系是（）

A.AO2ABB.AC=2AB

C.ACW2ABD.AC2.AB

（山东省竞赛试题）

解题思路：如何条件ZB=2ZC,如何得到2AB,这是解本题的关键.

【例3】两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E、A、C三点在一条

直线上，连结BQ,取BQ中点M,连结ME,MC,试判断△EMC的形状，并说明理由.

（山东省中考试题）

解题思路：从AADE^ABAC出发，先确定/XADB的形状，为判断的形状奠定基础.

【例4】如图，已知在ZkABC中，AQ是BC边上的中线，E是AQ上一点，且BE=AC,延长BE交

AC于求证：AF=EF.

（天津市竞赛试题）

解题思路：只需证明ZFAE=ZAEF,利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.

【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC,ZA=20°,在边AB1.取点。，使AD=BC,求/BQC度数.

（“祖冲之杯”竞赛试题）

解题思路：由条件知底角为30°,这些角并不是特殊角，但它们的差却为60°,60°使我们联想到等边三角

形，由此找到切入口.

如图1,以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE.

A

图2

能力训练

A级

1.已知AABC^J等腰三角形，由顶点A所引况边的高线恰等于BC边长的一半，贝，/BAC=.

2.如图，在RtAABC中，/C=90°,/ABC=66°,AABC以点C为中点旋转到△ABC的位置，顶点B在斜

边A国上，AC与AB相交于Q,则ZBDC=.

3.如图，Z\ABC是边长为6的等边三角形,DELBC于E,EF_LAC于F,FD±AB于。，则AZ）=.

（天津市竞赛试题）

4.如图，一个六边形的六个内