《微积分》教案 1.2 数列的极限与函数的极限.docx

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课题

数列的极限与函数的极限

课时

4课时（180min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解数列极限的概念，能观察出简单收敛数列的极限

（2）理解函数极限的概念，理解函数的左右极限的概念，熟记函数极限存在的充要条件，理解自变量不同变化趋势的极限

素质目标：

（1）通过学习数列的极限和函数的极限，培养学生的观察分析能力

（2）通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的角度来看待数列极限的概念

教学重难点

教学重点：数列极限的概念，正确理解单侧极限

教学难点：会求简单的数列极限，会用单侧极限的方法分析函数在分界点处的极限存在问题

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

案例导入

【教师】提出问题：

古希腊哲学家芝诺曾提出四个悖论，对数学乃至哲学都产生了巨大影响．其中芝诺的第二个悖论是“阿基里斯（荷马史诗中的善跑者）永远追不上一只乌龟”．若乌龟的起跑点领先阿基里斯一段距离，阿基里斯要想追上乌龟必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过了一段距离，此过程如此进行下去直至无穷，所以阿基里斯永远追不上乌龟．事实上我们知道：能追上．可该如何解释芝诺悖论呢？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点——数列的极限与函数的极限

一、数列的极限

【教师】提出数列的定义，并给出数列极限的定义

先给出数列的定义：在某一对应规则下，当依次取时，对应的实数排成一列数

（1-1）

这列数就称为数列，记为．

从定义看到，数列可以理解为定义域为正整数集的函数

当自变量依次取等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列．

数列（1-1）中的第个数称为数列的第项或通项．例如，数列

通项；

通项；

通项；

通项．

从上述各个数列可以看到，随着的逐渐增大，它们有其各自的变化趋势．

数列，当无限增大时，它的通项无限接近于0；

数列，当无限增大时，它的通项无限接近于1；

数列，当无限增大时，它的通项的绝对值也无限增大，因此通项不接近于任何确定的常数；

数列，当无限增大时，它的通项有时等于1（为奇数时），有时等于（为偶数时），因此通项不接近于任何确定的常数．

通过对以上四例的观察可以看到，数列的通项变化趋势有两种情形：无限接近于某一个确定的常数或不接近于任何确定的常数．这样可得到数列极限的粗略定义．

定义1.2.1如果数列的项数无限增大时，它的通项无限接近于某一个确定的常数，则称是数列的极限，此时也称数列收敛于，记作

或．

例如，或；或．

定义1.2.2如果数列的项数无限增大时，它的通项不接近于任何确定的常数，则称数列没有极限，或称数列发散．

注意当无限增大时，如果无限增大，则数列没有极限．这时，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作．

如和都不存在极限，但是前者可以记作．

【教师】通过解决“案例导入”的问题，加深学生对数列极限概念的理解

下面我们再看一下本节导引中的芝诺第二悖论，先做一个假设：假设乌龟的出发点在阿基里斯的出发点前面0.9个单位处，两者都做匀速直线运动，乌龟的速度是阿基里斯的．如图1-2所示，当阿基里斯到达点时，乌龟向前爬行了0.09个单位，到达点处。依次推算下去，当阿基里斯到达点时，乌龟又向前爬行了个单位，到达点处．容易理解，点与点间的距离依次为

图1-2

我们再假设阿基里斯的速度是1单位/秒，则阿基里斯从出发至到达点所用时间依次为

这是一个收敛于1，即极限为1的数列．所以，阿基里斯将在出发后（即1?s）时追上乌龟，这时他的行程为1个距离单位，这与我们的经验是一致的．

二、函数的极限

我们知道数列的本质是自变量只能取正整数的一种特殊的函数，即，，数列极限就是研究当自变量时，函数值的变化趋势．对于一般函数，而言，也可以研究在自变量的变化过程中函数值的变化趋势．这里的自变量的变化过程是指两种情形：一种是的绝对值无限增大（记作）；另一种是无限接近于某一值，或者说趋向于（记作）．下面分别对在这两种不同的变化过程中函数的极限问题作如下讨论．

1．当时函数的极限

【教师】结合实际函数例子，提出x趋于无穷时函数的极限

函数的自变量是指的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：

（1）取正值，无限增大，记作；

（2）取负值，它的绝对值无限增大（即无限减小），记作．

若不指定正负，只是无限增大，则写成．

例1讨论函数当和时的变化趋势．

解