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我恨你,Taylor!!(一)死磕级数误差限

北京新东方学校罗勇

关于series,很多同学感觉到爱恨交加——爱它是因为它在AP

考试中占据的分数比较多,恨它是因为它很难被理解,公式也很复杂，

尤其是误差限errorbound，从而导致了某同学在AP微积分课上大喊,

“Taylor,我恨你”。今天我们就AP微积分考试中关于误差限的内容一

起研究一下。

1.泰勒级数展开式：

f(a)2f(n)(a)n

f(x)f(a)=+f(a)(x−a)+(x−a)+...+(x−a)+...

2!n!

2.Errorbound误差限

（1）AlternatingSeries：交错级数的误差限小于第n+1项

∞

Iftheseries∑(−1)n+1anconverges,then|Rn||S−Sn|≤an+1

n1

（2）Taylorseries：泰勒级数误差限小于拉格朗日余项的最大值

1

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3.关于泰勒级数errorbound的典型例题

例1.

分析：第c问用Lagrangeerrorbound证明前三阶泰勒级数P(1.9)估算h(1.9)的误

3

差小于3×10−4。根据前面的理论，我们有

f(n+1)(ξ)n+1

|R(x)||h(x)=−P(x)|max(x−2)

n3

(n+1)!

该题中a2,x1.9,n3,1.9ξ2

f(4)(ξ)4

|R(1.9)||h(1.9)=−P(1.9)|max(1.9−2)

n3

(4)!

由题目已知条件：Thefunctionhandthesefourderivativesareincreasingonthe

interval1≤x≤3，所以f(4)(ξ)在ξ2取得最大值。

f(4)(ξ)4f(4)(2)4−4

=−−=−×

|R(1.9)||h(1.9)P(1.9)|max(1.92)(1.92)310

n3