专题05 最短路径问题（解析版）-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）.pdfVIP

2021-2022学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题05最短路径问题

一．选择题

1．（2021春•开江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别

找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（）

A．110°B．112°C．114°D．116°

【思路引导】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，

交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．

【完整解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于

E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．

∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，

∴∠ADC＝180°﹣α，

由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，

在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC

＝180°﹣（180°﹣32°）

＝32°，

∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，

∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）

＝180°﹣64°

＝116°．

故选：D．

2．（2020秋•泗水县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的

两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）

A．3.5B．4C．5D．6

【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最

小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′，

【完整解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，

∴BA＝BC，

∵BD⊥AC，AQ＝2cm，QD＝1.5cm，

∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5（cm），

作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE

＝PE+EQ′＝PQ′，

∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，

∴QD＝DQ′＝1.5（cm），

∴CQ′＝BP＝2（cm），

∴AP＝AQ′＝5（cm），

∵∠A＝60°，

∴△APQ′是等边三角形，

∴PQ′＝PA＝5（cm），

∴PE+QE的最小值为5cm．

故选：C．

3．（2021春•蜀山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交

AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（）

A．2B．2.4C．2.5D．3

【思路引导】作点A关于BD的对称点M，过M作MF⊥AB于F，交BD于E，则AE+EF的最小值是

MF的长．由MF∥CA可得，进而可得答案．

【完整解答】解：作点A关于BD的对称点M，

∵BD平分∠ABC，

∴M落在BC上．

∴BM＝BA＝4，

过M作MF⊥AB于F，交BD于E，

则AE+EF的最小值是MF的长．

∵∠MFB＝∠CAB＝90°，

∴MF∥CA，

∴，

即，MF＝2.4，

∴AE+EF＝MF＝2.4．

故选：B．

方法二：作点F关于BD的对称点M，

连接AM交BD于E，则则AE+EF的最小值是AM的长，

∵点E，F分别是BD