高等数学（第二版）课件：中值定理.ppt

一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理中值定理微分中值定理及导数的应用三、柯西中值定理罗尔定理一、罗尔定理设函数在闭区间上有定义，且满足（1） 闭区间上连续；（2） 开区间内可导；（3） ；则至少存在一点，使得。由定理的假设在闭区间上连续，在开区间 内可导。说明在平面上是以为端点的连续且处处有切线的曲线段。由可知，线段平行于轴,说明在曲线段上必有一点（其横坐标为），在该点处的切线平行于轴。即。即曲线段上至少存在一点，在该点处有水平切线。注意：定理中的三个条件如果不能同时满足，则定理的结论也可能不成立。下面三个图象表明，函数的图象没有水平切线二、拉格朗日中值定理如函数在闭区间上有定义，且满足则至少存在一点，使得（1） 闭区间上连续；（2） 开区间内可导；或拉格朗日中值定理我们借助几何图形来分析定理的结论。条件中连续与可导的条件与罗尔定理证明相同，仅仅少了该函数在两端点的函数值相等的条件，而弦的方程为，所以正是弦的斜率说明至少存在一点，使曲线在该点的切线与弦平行。于是或定理的其他形式：（1）由于是介于与之间，因此可将表示成其中于是有（2）若令，，则有其中显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当时的特殊情形。（介于与之间）物理解释：把数设想为在上的平均变化率而是在的瞬时变化率。中值定理表明：在某个内点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均率。推论1如果函数在区间内的任意点处的导数恒等于零，则在区间内是一个常数。推论2如果函数与在区间内每一点的导数与都相等，则这两个函数在此区间内至多相差一个常数。例1 函数，在闭区间上验证拉格朗日定理的正确性。解：显然在上连续，在内可导，又由拉格朗日中值定理，至少存在，使成立。解得故可取，使成立。