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例9如果解直接計算可得因此由公式(5.53)可得例10求方程組滿足初始條件解這裏係數矩陣特徵根為由(5.48)我們需要考慮下麵方程和首先討論這個方程組的解為其次這個方程組的解為解之得代入上式得到三個線性無關的解,利用這三個解為列,即得(3)非齊線性方程的解下麵研究非齊線性微分方程組由於(5.60)對應齊次方程組的基解矩陣為故由常數變易公式,例10設的解.解由例6知故初值問題的解為三拉普拉斯變換的應用(1)定義定義其拉普拉斯變換為常係數線性微分方程組:1用拉普拉斯變換解微分方程組(2)定理12(3)推論例11利用拉普拉斯變換求解例10.解將方程寫成分量形式,即常系数线性方程组常係數線性方程組一階常係數線性微分方程組:本節主要討論(5.33)的基解矩陣的求法.一、矩阵指数expA的定義和求法1expA的定義定義注1:矩陣級數(5.34)是收斂的.由於而數項級數收斂.注2:級數在t的任何有限區間上是一致收斂的.由於而數項級數收斂.2矩陣指數的性質由於:絕對收斂級數的乘法定理由於:由於:3常係數齊線性微分方程組的基解矩陣(1)定理9矩陣是(5.33)的基解矩陣,且證明:又因為例1如果A是一個對角矩陣解由(5.34)得例2解因為而後面兩個矩陣是可交換的故(2)基解矩陣的一種求法則其中注1:二基解矩陣的計算公式類似第四章4.2.2,尋求形如將(5.43)代入(5.33)得1基解矩陣與其特徵值和特徵向量的關係方程(5.44)有非零解的充要條件是:結論即例3解的根,解得解得例4解特徵方程為為求其對應的特徵向量考慮方程組解得2基解矩陣的計算方法---常係數線性微分方程組的解法(1)矩陣A具有n個線性無關的特徵向量時定理10是常係數線性微分方程組的一個基解矩陣.證明:由上面討論知,每一個向量函數都是(5.33)的解,因此矩陣是(5.33)的解矩陣,所以例5解由例3知由定理10,矩陣就是一個基解矩陣.注:但由於有從而例6試求例5的實基解矩陣.解由於基解矩陣為故實基解矩陣為求例5滿足初始條件的解解由於基解矩陣為故該方程的通解為從而由初始條件有故例7求方程組的通解.解因此特徵根為它們相的特徵向量為故基解矩陣為故通解為(2)矩陣A的特徵根有重根時分量是無窮級數難!分量表為t的指數函數與冪函數乘積有限項組合的解產生的,由於由(5.49)有由(5.51)有注1:故注2:其中例8試解初值問題解從例4知,利用公式(5.53)即得或者分別令常系数线性方程组
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