丘成桐数学模拟卷1答案解析.pdf

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丘成桐数学模拟卷

参考答案与试题解析

1.从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则可有2500

种不同的取法.

【分析】根据题意,若每次取出2个数的和大于100,则两个数中至少有一个大于50,

进而分两种情况讨论,若取出的2个数都大于50,若取出的2个数有一个小于或

①②

等于50,分别计算其所有的情况数目,进而由加法原理,计算可得答案.

【解答】解:根据题意,若每次取出2个数的和大于100,则两个数中至少有一个大于

50,

即可以分两种情况讨论,

①若取出的2个数都大于50,则有种.

②若取出的2个数有一个小于或等于50,

当取1时,另1个只能取100,有种取法;

当取2时,另1个只能取100或99,有种取法;

当取50时,另1个数只能取100,99,98,…,51中的一个,有种取法,

所以共有1+2+3++50=.

综合①②可得,故取法种数为+=+=2500,

故答案为:2500.

【点评】本题考查分类加法计数原理的运用,注意分类后,寻找规律,避免大量运算,

其次注意分类讨论要不重不漏.

2

2.已知关于x的一元二次方程mx﹣(2m﹣1)x+m=0有两个实数根.

(1)求m的取值范围;

22

(2)设方程的两个实数根为α,β,且α+β=7,求m的值.

2

【分析】(1)根据关于x的一元二次方程mx﹣(2m﹣1)x+m=0有两个实数根,可得

22

Δ=(2m﹣1)﹣4m=﹣4m+1≥0且m≠0,求解即可;

222

(2)根据根与系数的关系得:,,而a+β=7,可得:(a+β)

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﹣2aβ=7,即,求解并检验即可.

【解答】解:(1)根据题意得,

22

Δ=(2m﹣1)﹣4m=﹣4m+1≥0且m≠0,

解得:且m≠0;

(2)根据根与系数的关系得:

,,

22

∵a+β=7,

2

∴(a+β)﹣2aβ=7,

∴,

即或,

解得:m=﹣1,,

1

经检验m=﹣1,是原方程的根,

1

∴m的值为﹣1或.

【点评】本题考查的是跟与系数的关系和跟的判别式,熟练掌握上述知识点是解题的关

键.

22

3.已知α、β是关于x的一元二次方程x+(2m+3)x+m=0的两个不相等的实数根.

(1)试确定m的取值范围;

(2)当+=﹣1时,求m的值.

【分析】(1)根据方程有两个相等的实数根可知Δ>0,求出m的取值范围即可;

(2)根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值,代入代数式进行计算即可.

22

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