《圆的标准方程》教材分析 (1).docxVIP

高中数学精选资源

PAGE2/NUMPAGES2

《圆的标准方程》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：圆的标准方程和一般方程.

难点：圆的方程的应用.

三、教科书编写意图及教学建议

本节内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.

通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件,选择适当的圆的方程形式,求出圆的标准方程,或圆的一般方程.

2.5.1圆的标准方程

1.建立圆的标准方程

在平面直角坐标系中建立圆的标准方程,是从确定圆的几何要素开始的.确定圆的几何要素是：圆心和半径.在平面直角坐标系中建立圆的标准方程问题,涉及平面中两点间的距离公式.这里的两个点：一个是圆心,另一个是圆上任意一点,其中圆心是定点,圆上任意一点是动点.圆是到定点（圆心）的距离为定值（圆的半径）的点的集合或轨迹.根据平面上两点间的距离公式得到方程

…….

对于以上方程,我们容易得到,圆上的点都满足方程①；反过来,满足方程①的点到圆心的距离都等于半径,也就是这些点都在圆上,此时称这个方程为圆的标准方程.对于求圆的标准方程来说,这个双向论证过程是容易的.推导圆的标准方程的过程说明圆上点的坐标都满足方程①；反过来,如果点的坐标满足方程①,即,那么,,根据两点间的距离公式,也就说明了动点与圆心的距离为r,根据圆的定义,动点在以为圆心,半径等于r的圆上.

在直线与直线的方程中,教科书述及了两者之间的一一对应关系.现在通过对圆与圆的方程关系的研究,丰富了学生对曲线与方程之间一一对应关系的认识.从大的范围看,这种一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系.有了这种关系,我们可以用方程表示曲线,对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达,把方程“形象化”.

2.例1的教学

本节2个例题、“探究”都涉及圆的标准方程.它们由简单到复杂,具有一定的层次性：例1是对圆的标准方程直接考查；例2是由任意两点以及圆心的动态变化,结合图形的几何特征,求圆的标准方程.解决这一类问题的基本思想方法是首先求出圆心的坐标和圆的半径,然后写出圆的标准方程.

3.例2的教学

例2也是根据一些已知条件求圆的标准方程的问题,解决这类问题往往有多种方法.例2给出了两种方法,第一种方法是待定系数法.先设圆心的坐标,通过圆心在直线上,满足直线的方程,得到圆心的横坐标与纵坐标之间的关系式；再根据圆心与圆上任意一点的距离都等于半径，得出圆心横坐标与纵坐标之间的关系式,通过两个关系式,得出圆心坐标的具体值.这种方法的出发点和落脚点都是圆心,求出圆心的坐标,圆心坐标确定后,半径自然就确定了.第二种方法是充分运用图形的几何性质,由圆的垂径定理,圆心在弦的垂直平分线上,结合圆心在另一条直线上,通过直线的交点得出圆心的坐标,进而得到半径,最后得到圆的方程.

解决本题的关键是确定圆心的坐标,第一种方法是典型的待定系数法,第二种方法是充分结合图形的几何性质.教学时要让学生比较两种方法的差异,进一步体会待定系数法.

从例2的解答中可以得到启示,解决平面解析几何问题的过程中,要注意综合运用所学的数学知识.代数方法具有程序化的特点,比较容易想到,但有时运算会比较复杂；如果灵活运用平面几何知识,往往能够减少运算量,使问题的解法显得简洁.另外,解决解析几何问题的过程中离不开运算,需要灵活运用运算法则和数学公式.