第08讲 勾股定理-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假课（苏科版）.docx

第08讲勾股定理

【学习目标】

1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

【基础知识】

一．直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

二．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

三．勾股定理的证明

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．

（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

四．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．

【考点剖析】

一．直角三角形的性质（共6小题）

1．（2021秋?姜堰区期末）如图，∠AOB是一个锐角，点C、D分别为边OA、OB上的点，OC＝10，OD＝8，图中可能互相垂直的两条线是（）

A．OA与OB B．CD与OB

C．CD与OA D．没有可能垂直的两条线

2．（2021春?毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（）

A．30° B．40° C．50° D．60°

3．（2022春?阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为．

4．（2022春?大丰区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，则∠B＝．

5．（2022春?滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．

（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；

（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．

6．（2020秋?仪征市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（）

A．2，4，5 B．3，4，5 C．4，4，5 D．5，4，5

二．勾股定理（共5小题）

7．（2021秋?淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（）

A．12 B．13 C．14 D．15

8．（2021秋?宜兴市期末）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（）

A．30 B．40 C．50 D．60

9．（2022春?岳麓区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（）

A．6 B．2 C．11 D．24

10．（2022春?工业园区校级期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．

（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．

11．（2021秋?阳山县期末）