第06讲 等边三角形的性质与判定-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假课（苏科版）.docx

第06讲等边三角形的性质与判定

【学习目标】

1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】

一．等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

二．等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

三．等边三角形的判定与性质

（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．

（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．

（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．

【考点剖析】

一．等边三角形的性质（共5小题）

1．（2020秋?濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（）

A．80° B．70° C．45° D．30°

2．（2022春?江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（）

A．8 B．9 C．12 D．15

3．（2022春?鼓楼区校级月考）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）

A． B． C．2 D．

4．（2021秋?无锡期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为．

5．（2021秋?宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．

（1）判断△ADE的形状，并说明理由．

（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．

二．等边三角形的判定（共4小题）

6．（2021秋?淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形

7．（2021秋?渑池县期末）下列对△ABC的判断，错误的是（）

A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形

B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°

C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形

D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形

8．（2017秋?兴化市期中）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．

9．（2019秋?鼓楼区校级期中）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．

三．等边三角形的判定与性质（共3小题）

10．（2021秋?淮安区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝cm．

11．（2020秋?河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数．

（2）求证：DC＝CF．

12．（2021春?龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．

（1）判断△DEF的形状，并说明理由；

（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．

【过关检测】

一．选择题（共5小题）

1．（2021秋?梁溪区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（）