图形的轴对称、平移与旋转的知识点.docx

图形的轴对称、平移与旋转

一、轴对称图形与轴对称

轴对称图形

轴对称

图

形

定

义

如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴

如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴

性

质

对应线段相等

AB=AC

AB=A′B′，BC=B′C′，

AC=A′C′

对应角相等

∠B=∠C

∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∠C=∠C′

对应点所连的线段被对称轴垂直平分

区

别

(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；

(2)对称轴不一定只有一条

(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；

(2)只有一条对称轴

关

系

(1)沿对称轴对折，两部分重合；

(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称

(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形

1．常见的轴对称图形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．

2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．

【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．

3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤

1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．

4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤

1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；

2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．

二、图形的平移

1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．

2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．

3．性质：

1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．

4．作图步骤：

1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．

三、图形的旋转

1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．

2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．

3．性质：

1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3）旋转前后的图形全等．

4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．

【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．

四、中心对称图形与中心对称

中心对称图形

中心对称

图

形

定

义

如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心

如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称

性

质

对应点

点A与点C，点B与点D

点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′

对应线段

AB=CD，

AD=BC

AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′

对应角

∠A=∠C

∠B=∠D

∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′

区

别

中心对称图形是指具有某种特性的一个图形

中心对称是指两个图形的关系

联

系

把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称

把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形

常见的中心对称图形

平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．

注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.