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丘成桐数学模拟卷

1．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有种

不同的取法．

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2．已知关于x的一元二次方程mx﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

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（2）设方程的两个实数根为α，β，且α+β＝7，求m的值．

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3．已知α、β是关于x的一元二次方程x+（2m+3）x+m＝0的两个不相等的实数根．

（1）试确定m的取值范围；

（2）当+＝﹣1时，求m的值．

4．任意一个四位数n，交换其千位与十位数字，百位与个位数字后得到一个新数n，记f（n）

＝，如n＝3125，则m＝2531，f（3125）＝

（1）计算f（1111），f（4015）的值．并求证：对任意四位数n，f（n）均为整数．

（2）若s＝1600+10a+b，t＝1000b+100a+21（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数），当f

（s）+f（t）为一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．

5．已知：有理数a、b、c满足abc＜0，且a+b+c＞0，当时，求代数

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式x﹣95x+1028的值．

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6．若有理数a、b、c满足：（a﹣1）+（2a﹣b）+|a﹣3c|＝0，求a+b+c的值．

7．某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．

（1）如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为；

（2）如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生的概率．

8．小华在某课外书上看到了这样一道题：“如图，分别以正方形ABCD的边AB、AD为直

径画半圆．若正方形的边长为a，求阴影部分的面积．”从表面上看，图中的阴影部分是

复杂且比较分散的图形，要直接计算它的面积还是有困难的，但小华仔细考虑过后，只

是将正方形的对角线AC、BD连接起来，然后利用自己所学的“图形的旋转”知识很简

便地就将本题解决了，你知道他是怎样做的吗？

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9．今年的北京奥运会期间，有8人乘坐速度相同的两辆小汽车同时赶往奥运场馆观看篮球

比赛，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离场馆15km的地方出现故障，

此时距比赛开始的时间还有42分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，且

这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．试

设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在比赛前赶到场馆．

10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°

得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）为；

（2）如图2，连接BE，若∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证

明；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

11．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：

利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到

简便解决方法，常用的途径有：

（1）整体观察；

（2）整体设元；

（3）整体代入；

（4）整体求和等．

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例1：分解因式（x+2x）（x+2x+2）+1；

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