上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）.docxVIP

上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

（时间90分钟，满分100分）

2024年11月5日

命题教师毕仁伟审题教师姚红

一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上）

1.函数定义域为集合A，集合，则______.

【答案】{4}

【解析】

【分析】先求出函数定义域A，再求A与B的交集即可.

由不等式，求得，

所以，

所以.

故答案为：.

2.已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______.

【答案】

【解析】

【分析】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式.

设指数函数解析式为，且，将代入得

，解得，负值舍去，故指数函数解析式为.

故答案为：

3.已知，化简______.

【答案】a

【解析】

【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解.

因为，

故答案为：.

4.若，则，这是一个________命题.（填“真”或“假”）

【答案】真

【解析】

【分析】先得出同号，在得出同为正数.

由，知为同号，

又，知，

所以这是一个真命题.

故答案为：真

5.已知，则实数______.

【答案】

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可.

由题意得，，

若，则，此时，

不满足集合元素的互异性，

若，则（舍去）或，

此时，满足题意.

故答案为：.

6.幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.

【答案】2

【解析】

【分析】由幂函数系数为1得或，再检验对称性即可.

函数是幂函数，

∴，解得或，

当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；

当时，函数的图象关于轴对称；

∴实数．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了求解幂函数的解析式，解题的关键是熟悉幂函数的性质，属于基础题.

7.若关于的不等式对任意恒成立，则的最小值为______.

【答案】4

【解析】

【分析】由不等式恒成立可知，将不等式左侧看作一个函数，若不等式恒成立，则恒成立.由此可得，只需的最大值即可，求出，则的最小值即为的最大值.

由题意得，若对任意恒成立，

设，则只需，

又因为，

当时取得最大值，

所以，故的最小值为4.

故答案为：4.

8.不等式与不等式解集相同，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可.

，

在上单调递增,

，即，

，

.

故答案为：

9.已知实数a，b满足，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.

，，

故，，

故，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

10.，若，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据基本不等式和绝对值不等式成立的条件可求得当时各自的取值范围，进而求出的取值范围.

由题意得，因为，

所以，

故由基本不等式，，

由绝对值不等式得，，

而由题意，

所以，，

由基本不等式等号成立的条件，当时，

当且仅当，

若，

即数轴上y到0的距离与到1的距离之和为1，则，

所以，

故答案为：.

11.若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果.

由得或，

方程的判别式为，

方程的判别式为，

显然，

又集合中有且只有3个元素，

所以方程和共三个根，

且只能方程有两个根，方程有一个根；

即，即；

所以方程可化为，解得或，

方程可化为，解得，

则，

又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以，

解得，

则，因此.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.

12.设函数，集合，则下列命题正确的有______.

①当时，集合；

②当时，；

③当，则的取值范围是；

④若（其中），则.

【答案】①④

【解析】

【分析】对于①，画出的图象，当时，解得或，数形结合解得；

对于②，当时，，解得，②错误；

对于③，令，不妨设，此时满足，但，③错误；

对于④，分析出至少一个为负值，不妨令，对应的解只有一个，为，故要对应3个解，故，则，，结合，求出，④正确.

对于①，画出的图象，如下：

当时，，解得或，

显然由图象可知，需令，解得，

需令，解得，故，①正确；

对于②，当时，，解得，

由图象可知，需令，解得，故，②错误；

对于③，令，则，

，解得，

设的两根分别为，则，

不妨设，

当，即，由图象可知，，

当，即，令，解得，

满足，但此时，③错误；

对于④，（其中），

由于