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《圆的一般方程》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：圆的标准方程和一般方程.

难点：圆的方程的应用.

三、教科书编写意图及教学建议

本节内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.

通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件,选择适当的圆的方程形式,求出圆的标准方程,或圆的一般方程.

2.5.2圆的一般方程

1.圆的一般方程与标准方程的关系

由于圆的标准方程可以化为形如的方程，所以，教科书没有讨论圆的方程和一般形式的二元二次方程的之间的关系，这在一定程度上简化了教科书对于二元二次方程的研究范围，使问题聚焦在形如的方程上.教科书在第2.4.2小节中的“思考”起到了聚焦问题范围的作用.

研究圆与形如的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：

（1）这类方程是否都是圆的方程？

（2）如果这类方程表示圆，其系数具有什么条件？

（3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？

（4）这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？

教科书第2.5.2小节中的“思考”和“探究”都是围绕以上问题展开的，其实是明确转化的方向，化成圆的标准方程的形式，所用的方法是配方法.解决以上问题的方法是通过配方把化成

，

于是得到教科书中相应的三个基本结论.

提到一个方程是圆的一般方程，这是有前提的，首先需要在方程确实表示圆的情况下称为圆的方程，而条件是充要条件.学生容易忽略这个前提条件，应该提醒学生加以注意.第（2）种情况，，此时方程表示一个点，这个点可以看成是半径等于0的“圆”，第（3）种情况，，方程不表示任何图形.

教学中，为了说明圆的标准方程一定可以展开为形如的方程，从逻辑严密性的角度来思考，当然也可以根据学生学习的实际情况，选择直接由圆的标准方程出发，通过运算去论证，也就是把圆的标准方程

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圆的标准方程一定可以化为形如的方程.对于形如的方程，可以根据教科书中得到的基本结论（1），直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径.当然，也可以直接通过配方求圆的圆心坐标、圆的半径.

教科书中的“思考”：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？安排这个“思考”的目的在于让学生认识到：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.对于这个思考问题，在教学过程中不妨让学生自行归纳并作一些交流，然后教师作出总结归纳.

2.例3的教学

教科书的例3是教科书的例3是将一般方程转化为标准方程，进而求解.

典型的已知不共线三个点的坐标，求经过这三个点的圆的方程问题.例4和例2都属于这类问题，条件非常相似.由于解题要求中并未指明要求出哪种类型的圆的方程，此时，解题已经可以在两种类型的圆的方程中有所选择了.

例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项次，是一个三元一次方程组，而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.

例4的解题方法仍然应用了待定系数法.待定系数法，一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数.由于其中的系数是未知和待定的，这类方法称为待定系数法.对于这种方法，可以根据教学实际适当补充例题和习题.例3中的第一种解法也是待定系数法.

3.例4的教学

例4典型的已知不共线三个点的坐标，求经过这三个点的圆的方程问题.例4和例2都属于这类问题，条件非常相似.由于解题要求中并未指明要求出哪种类型的圆的方程，此时，解题已经可以在两种类型的圆的方程中有所选择了.

例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的