高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展06导数中的公切线问题(学案+练习)（2024年）.docxVIP

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展06导数中的公切线问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、公切线问题一般思路

两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

考法1：求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，

则f′(x1)＝g′(x2)＝.

考法2：由公切线求参数的值或范围问题

由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．

【解析】设与和，分别切于点，，

由导数的几何意义可得：，即，①

则切线方程为，即，

或，即，②

将①代入②得，

又直线是曲线的切线，也是曲线的切线，

则，即，则或，

即或，故答案为1或．

【典例2】已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则______．

【解析】依题意，可得，整理得

令，则在单调递增

且，∴存在唯一实数，使

，，，

，，∴，故．

【题型训练】

1.求公切线方程

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）曲线与曲线的公切线方程为（????）

A． B．

C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（????）

A． B． C． D．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（????）

A．-1 B．1 C．2 D．3

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则和的公切线的条数为

A．三条 B．二条 C．一条 D．0条

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（????）

A． B． C． D．

6．（2023·全国·高三专题练习）函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

二、填空题

7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线和都相切的直线方程为__________.

8．（2023·全国·高三专题练习）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______．

9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______．

10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线是曲线与的公切线，则__________.

2.公切线中的参数问题

一、单选题

1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（????）

A． B．3 C． D．2

2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（????）

A． B． C．0 D．1

3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（????）

A． B．

C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（????）

A． B． C． D．

5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（????）

A．e B． C． D．

6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（????）

A． B．

C． D．

8．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·湖北·统考模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（????）

A．0 B． C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）函数，，下列说法正确的是（????）．（参考数据：，，，）

A．存在实数m，使得直线与相切也与